李昊楠　朱天逸　单吉琪

摘要：随着城市与城市之间的交流更加密切，每个城市的飞机场也迎来越来越多的人流量。出租车作为乘客下了飞机后的主要交通工具之一，围绕它的一系列问题也越来越受人关注。若能对旅客需求进行精准预判，进而实现车辆调配管理，旅客与出租汽车双方的利益就能达到最大化。本文围绕研究背景中提出的四个实际问题，就对出租车司机接客决策，机场“乘车点”的设置，以及出租车司机收益均衡的数学建模。

关键词：蒙特卡洛排队模型;图论;基尼系数;Pyr.hon决策

一、研究背景

（一）研究背景

一般航空港会将送客到港的出租汽车引入载客返程通道，以便他们将乘客带回市区，对出租汽车司机而言这不妨是一个赚取远程车费的好方式，但面临的问题就是出租汽车司机需要在蓄车池中等待一定的时间，这段时间会成为他们的机会成本。在航空港出租汽车管理实践中，管理人员将分批定量让出租车进入“乘车区”，同时安排一定数量的乘客登车。在面临这样的两个选择时，影响出租车司机决策的因素很多，例如在蓄车池排行的汽车数量、排行时进港的航班数量、主观疲惫程度、边际收益的效用等。

（二）要解决的问题

1.在出租汽车做决策时，影响出租车司机决策的因素很多，通过分析研究影响因素的作用机理，综合考虑航空港进港航班数量、乘客数量的数量变化规律和出租汽车司机的收益，建立出租汽车司机做出选择决策的模型，并给出司机最优的选择策略。

2.在某机场的乘车区域有两条并行车道，航空港出租汽车管理部门应如何设置乘客上车点，并合理安排出租车和乘客，才能在保证车辆和乘客安全的前提下，使得乘客的乘车效率最高。

3.航空港出租汽车载客的收益与载客的行驶里程有关，将要返程的乘客目的地远近不一，出租汽车自己不能选择乘客或拒载乘客，所以选择载客返程的出租汽车司机仍然面临着收益高低的不确定风险，但机场允许出租车多次往返接客，这就为收益的均衡性提供了可能。

二、问题分析

（一）问题一分析

根据题目背景，司机能得知某时刻抵达的航班数量y和蓄车池里的车辆数x，而x和y决定了乘车区里人的等待时间和出租车司机的等待时间，进一步的决定了司机的收益。因此司机应通过观察x和y的数值，来做出决策。

（二）问题二分析

本题模型以乘客为视角，通过计算不同的“上车点”数量对乘客的平均等待时长、客等车效率、车等客效率等参数的影响，来最终权衡出最佳的“上车点”数量。当“上车点”数量很大时，不仅车等客的效率会降低，也会产生难以管理的安全风险，因此模型还引入危险指数，将车辆和乘客安全考虑其中。

（三）问题三分析

延续问题二中的得出的最优“上车点”设置，为了平衡出租车司机每一单客人的获利，我们的方案是：将这n个“上车点”按照乘客乘坐距离的远近划分成四组指定“上车点”，这四组“上车点”P，P，P，P所代表的行驶距离（亦即乘客乘坐距离）由近及远为S，S，S，S，且上一单在P的司机，本单只允许去P或P接客;上一单为P的司机，本单只允许去P接客;上一单为P的司机，本单只允许去P或P接客;上一单为P的司机，本单只允许去P接客。

三、模型假设

1.所有司机都是经济理性人，即所有决策以自身收益最大化为基础。

2.不考虑乘客下机后在机场内的逗留时间，乘客在上车时耗费的时间相等。

3.航班数服从泊松分布，不考虑航班数量随季节的变化。

4.问题二模型中，乘客到达“乘车区”的时间服从泊松分布，出租汽车到达“蓄车池”的时间服从泊松分布。

四、变量说明

本文建立模型的过程中主要涉及以下變量，变量符号及含义说明如下：

t车的等待时间;t人的等待时间;S机场到市区距离;S出租车在市区内平均每单的公里数;r（市区）接单率;r每公里耗油所需的费用;r每公里收费;x蓄车池里的车辆数;y单位时间内抵达的航班数量;r每架航班上选择打车的人数;t每组乘客上车的用时;r每辆车平均载客人数;ζ，实际候车数>理论需车数时，司机需要多等的时间（即两批航班的时间间隔）;ζ实际候车数<理论需车数时，乘客需要多等的时间;n到达队伍的人数;n乘客组数， n上车点数量;t每组乘客到达队伍时间;t每组乘客等待车的时间;t每组乘客进入上车点时间;t每组乘客排队结束时间;t每组乘客在队伍中的时间;t上车点空闲时间;t每组乘客的上车时间;r危险指数。

五、模型建立与求解

（一）问题一：出租车司机的决策模型

首先，分别建立司机选择等待和返回的获利函数式f（x），f（x），两者都由各自情况下的载客收益减去油耗成本得出。

（其中，出租车的等待时间t=x t+ζ）

令f（x）=f（x）-f（x），那么当f（x）>0时，司機选择排队等候的利润更大;当f（x）<0时，司机选择放空返回市区拉客的利润更大。

综合乘客数量和 出租车数量来看，当排队系统处于平衡状态时，实际在“蓄车池”中排队的车辆数x应等于载完该批乘客所需的理论车辆数（yr/r）。于是下面分“人多车少”和“人少车多”两种情况分析出租车司机该如何选择。

1.情况一：人多车少

时，人多车少，即实际候车数<理论需车数，此时司机不需要额外等待下一班航班的乘客就能接到单，因此ζ=0。出租车的等待时间

在这样的情况下，令f（x）>0，可得

表示在出租车司机观察到 的情况下，如果此时“蓄车池”里的车辆数小于（I）这一定值，则该司机应选择排队等待;反之则选择放空返回。

2.情况二：人少车多 时，人少车多，即实际候车数>理论需车数，此时司机需要额外等待下一班航班的乘客的到来才能接到单。因为y代表单位时间里抵达的飞机数，ζ表示每两架飞机间隔的时间，因此ζ=1/y;则出租车的等待时间

在这样的情况下，令f（x）>0，可得x<（I）

表示在出租车司机观察到x>yr/r的情况下，如果此时“蓄车池”里的车辆数x和抵达的航班数量y满足如上关系式的话，则该司机应选择排队等待;反之则选择放空返回。

综上所述，根据以上模型的定量分析，可构建出出租车司机的决策模型，司机可根据观察到的x和y来做出选择。

（二）问题二：“上车点”最优数量模型

首先，假定乘客到达“乘车区”的时间服从参数为λ的泊松分布，并按时间大小依次排列。假定出租车到达“蓄车池”的时间服从参数为λ的泊松分布，并按时间大小依次排列。

假定到达“乘车区”的乘客共有n人，将其分为若干组，保证每组有n人后，多余乘客归为一组。每组乘客可同时上车。

然后，开始对模型的分析：

对于第i组乘客，如果第i组乘客在第i-1组乘客上车后到达，即 ），那么第i组乘客进入上车点的时间：

上车点的空闲时间：

如果第i组乘客在第i-1组乘客上车后到达，即

，那么第i组乘客进入上车点的时间：

第i组乘客结束排队的时间：

第i组乘客在队伍中排队的时间：

第i组乘客排队的全部时间：

每组乘客的平均等待时间：

客等车的效率：

车等客的效率：

当乘客到达“乘车区”的时间服从参数为λ的泊松分布，出租车到达“蓄车池”的时间服从参数为λ的泊松分布时，可以计算在不同的“上车点”数量情况下的每组乘客平均等待时间、客等车的效率、车等客的效率，进而做出最优决策。

存在n，使得当n=n时，每组乘客平均等待时间t尽可能小，并使客等车的效率η，车等客的效率η：处于合理范围。为直观表述模型结论，现假定数据：

最后得出的“上车点”数量与每组乘客平均等待时间 客等车的效率η，车等客的效率η的关系。

基本可以得出结论，当“上车点”数量n为20时，客等车的效率η处于较大水平，而每组乘客平均等待时间

处于较小水平，机场就可以选择这一点作为建立“上车点”的最优配置。

（三）问题三：出租车的调度方案模型

首先将所有乘车点按距离由近及远分为四组P、P、P、P，机场通过大数据调查，可以得知乘客们的乘坐距离，从而将其由近及远平均地归为四组。为了使出租车司机们的收益尽量均衡，我们的目标是以一天为单位，假定平均每个司机一天接7单，在一天里让每个司机每单的公里数尽量相同。

根据图论，我们可以将我们的方案图转换为矩阵D=

由此，D中的每个元素a，j表示出租车司机起始在P接客点，经过K次接客后到达P接客点，且其中的接客方法有a，j条。

其中

，通过枚举每一条路径，我们可以得出矩阵中这8组司机平均每单走的公里数：

以P为起点P为终点

以P为起点P为终点（与以P为起点P为终点相同）

以P为起点P为终点

以P为起点P为终点（与以P为起点P为终点相同）

以P为起点P为终点

以P为起点P为终点

作为机场方面，为了统筹规划的方便及有效，最简洁的做法是只对每天的第一批接客司机进行规划，于是我们将上面的ABCDE加权获得等式：

在如上等式下，不论司机每天如何接单，一天的总收益是一致的。而得出的一组S，S，S，S的关系式，即为机场提供了划分乘车点所代表的乘车距离的依据。

机场方面可以在如上模型下抽样收集起始点和结束点不同的八组出租车司机的日收益，把收益从小到大排序，通过基尼系数的公式 验证该方法的有效性。[G代表基尼系数，Y代表第i组司机总收入占全部司机总收入的比例，P代表第i组司机人数占全部司机人数的比重，（∑P）代表累积到第i组的司机人数占全体司机人数的比重]

作者简介：

李昊楠，朱天逸，单吉琪，上海外国语大学国际金融贸易学院，上海。