王 照, 王传玉

(安徽工程大学 数理学院, 安徽 芜湖 241000)

0 引 言

当今我国养老保险由于死亡率、 通货膨胀等其他风险, 面临着巨大的贬值压力, 加重了养老保险的负担, 因此实现养老金的保险增值, 确保养老保险体系的可持续发展称为一大难题。 系统性风险和非系统性风险分类标准可以按照风险能否通过分散投资的方式来相互抵消或者削弱。 系统性风险指可以影响金融市场的因素,一般有国家经济政策、通货膨胀、利率等风险等, 这些风险不能够通过分散投资来相互削弱，所以又被称为不可分散风险。而非系统性风险一般指可以通过分散投资来相互抵消的风险, 通常包含死亡率风险、信用风险、财务风险、经营风险、操作性风险等。

在系统性风险研究中, Aron Gottesman和Michael Leibrock[1]提出了系统性风险是指市场资本流动受到干扰, 从而导致全球GDP增长下降的风险, 并且会威胁整个金融体系的稳定发展, 进而影响到整体经济的稳定而不仅仅是一两个机构的稳定。 Abdelkader Derbali[2]分析了中国金融机构的系统性风险对金融体系的影响, 以SRISK作为衡量系统性风险的一个指标，根据中国金融机构的系统性风险影响大小对其进行排名, 结果表明，金融机构与市场收益率是动态相关的, 因此系统性风险的限制需要适当的监管。 通货膨胀风险是金融市场中系统性风险之一, 也是影响DC型养老金投资过程的一大重要因素。 Aihua Zhang和Christian-Oliver Ewald[3]分析了在通货膨胀背景下DC型养老基金的最优投资相关问题, 假设参与者在有限的时间范围内将其工资持续投资于无风险债券、指数债券和股票, 目标是DC型养老基金最终期望效用最大化, 讨论了如何使用鞅方法来解决这个问题。 Han[4]等通过运用随机动态的原理，分析了在通货膨胀风险背景下DC型养老金计划的资产最优配置。 为了消除通胀风险带来的影响, 主要考虑了通胀指数化债券这一关键因素。 结果表明如果DC型养老金参与者是风险厌恶型, 那么基金投资将集中于早期阶段的指数化债券, 相反风险喜好型的参与者会在累积阶段持有指数债券的空头头寸, 以赚取通胀风险溢价。 安鹏[5]分析了在随机通货膨胀和随机利率的背景下, 养老金分散投资到银行、股票和债券市场的最优资产配置模型,研究发现利率和通货膨胀风险是影响DC型养老金资产收益的关键要素，最优投资策略随着成员年龄的增长,其投资期限会相应减小, 风险承受能力也会降低, 投资于有风险资产的比例也会降低。卞世博和刘海龙[6]研究了基于Legendre转换对偶解法和背景风险下DC型养老金的最优配置问题, 其中背景风险考虑的是通胀风险和工资风险, 讨论了养老基金的最优投资策略与投资期限、股票相关波动率以及工资通胀相关波动率之间的关系。

在本文中研究非系统型风险的影响时主要考虑到死亡率风险。 Haixiang Yao等[7]研究了具有随机收益和死亡率风险的DC型养老基金的资产配置问题, 通过均值方差准则来控制风险从而提高收益, 采用随机最优控制方法, 得到了投资策略和有效前沿的解析表达式。结果发现在DC型养老金投资过程中, 多考虑一个风险来源有利于对冲DC型养老基金投资过程的整体风险。 Zongxia Liang和Ming Ma[8]研究了在死亡率和工资的风险框架下DC型养老基金的最优动态资产配置问题, 以最大化终端财富的预期效用为目的讨论DC型养老金最优投资策略, 并通过数值说明这两种风险对最优投资政策的影响。结果表明死亡率风险会对投资策略中的负债产生影响, 且投资策略与工资风险呈负相关关系。Helena Aro[9]研究了在金融风险的情况下，非系统性和系统性死亡率风险对DC型养老金计划所需初始资本的影响, 提出了离散型的DC型养老金投资收益与负债之间的关系, 且计算了不同数量的养老金计划成员每人所需的初始资本。 结果发现, 非系统性风险的影响会随着养老金计划成员数量的增加而迅速减少, 同时死亡率风险是影响养老金投资组合的一个重要因素。

通过上述文献, 可以发现, 死亡率和通货膨胀风险都会对DC型养老金投资产生影响。 本文在文献[9]的基础上研究了基于死亡率和通货膨胀风险下的对冲负债的连续型DC型养老金最优投资问题。 本文假设养老金缴费成员在退休前将养老金分别投资于股票市场和银行, 其中通货膨胀、投资股票和银行的收益、成员工资以及养老金负债均为随机过程, 采用文献[6]中Legendre转化对偶方法, 将推广得到的模型通过伊藤公式以及随机控制原理推导HJB方程,利用Legendre转化对偶方法得出基于死亡率和通货膨胀风险下对冲负债的DC型养老金最优投资比例, 最后通过数值分析来分别研究死亡率风险和通货膨胀风险对最优投资比例的影响。

1 构建模型

给定赋流完概率空间{Ω,F,{Ft}t∈[0,T]，P},Ω是真实空间, 其中滤子Ft表示t时刻为止的所有信息,P是概率测度, 且假设在时间段[0,T]金融市场是无套利无摩擦的完全竞争金融市场, 其中金融资产可以被连续交易，T>0表示养老金缴费成员的退休时刻, 金融市场是由无风险金融资产(例如银行存款)和有风险金融资产(例如股票)组成。

假设1 无风险资产(银行存款)t时刻的价值Pt满足下面的微分方程：

dpt=rtptdt

(1)

其中,rt是t时刻的无风险利率。

假设2 另一部分DC型养老金资金投资于有风险金融资产(例如股票市场)，其t时刻的投资收益St满足下面的微分方程:

dSt=St(atdt+βtdBt)

(2)

其中,αt是t时刻有风险金融资产的期望收益率，Bt是定义在{Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P}上的一维布朗运动,Bt是有风险资产的波动率。

假设3 通货膨胀也是一个随机过程，其收益水平Qt满足下面的微分方程:

(3)

假设4 对冲负债的DC型养老金投资计划中员工的工资[6]满足下面的微分方程：

dHt=Ht(κdt+σHSdZS(t)+σYπdZπ(t)+σHHdZH(t))

(4)

其中，κ是员工工资的期望增长率,σHS、σYπ、σHH分别为工资随机性受股票、通货膨胀以及自身波动影响的波动率,是定义在{Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P}上的一维布朗运动。

假设5 在DC型养老基金计划中会产生负债，基金负债往往是由养老金的支付构成的。令养老基金在(0≤t≤T)时刻支付的养老金为Rt，微分方程如下[14]：

(5)

根据式(1)—式(3),对Xt和Yt分别应用伊藤公式得：

(6)

(7)

考虑缴费成员退休后的DC型养老金负债现金流，对于养老金领取人来说，死亡率是唯一的不确定因素。假设在对冲负债的DC型养老基金投资计划中，员工按比例c(以工资为基数)连续性地对养老基金进行缴费;养老基金的投资期限为[t,T],T记为员工的退休时刻，表示在T时刻以前员工始终退休。假定t时刻员工的总财富为Dt,初始财富记为D0,πt为投资于有风险金融资产(如股票市场)的资金比例，(1-πt)为投资到无风险金融资产(如银行存款)的资金比例，可以得到员工在t时刻对冲负债的DC型养老基金的价值动态过程：

(8)

将式(4)—式(7)代入式(8)整理得：

(9)

其中，rt、σt、αt、ρ、βt都为常数，px,t表示人口生存率。式(8)为在死亡率和通货膨胀风险下对冲负债的DC型养老金动态价值模型,在投资过程中考虑到了通货膨胀风险对投资有风险资产和成员工资的影响，以及死亡率风险对养老金负债过程的影响。下面将对该模型进行求解，来得到对冲负债的DC型养老金最优投资比例。

2 模型求解

假设对冲负债的DC型养老基金的效用函数为

此效用函数的特点为以DC型养老金计划中员工的负债水平作为计价单位，模拟员工退休前的生活水平。在式(8)的养老基金动态价值方程中考虑到了死亡率风险以及通货膨胀风险，对冲负债的DC型养老基金投资过程以此效用函数为投资基准时，这些投资风险将是其进行投资决策时必须考虑的重要风险。因此这样可以较好地表现出现实情况，将投资风险计入到投资模型当中。

(10)

存在πt使得式(8)有唯一解Dt≥0,∀t∈[0,T],则称策略πt是允许的，令全体πt构成的集合记为A,本文目的是通过选择能够对冲负债的DC型养老金最优投资策略πt*∈A,使得最终的期望效应最小化,则面临的最优化问题为

通过随机控制的原理来解决此类问题，定义价值问题为

(11)

对Gt进行伊藤公式得:

d(J(t,Gt))=Jt+JG((Gt(rt+σt-μt-πtαt+

相应的HJB方程为

其中，二阶微分算子DπJ(t,Gt)定义如下:

(12)

在对式(12)求πt的一阶导数得:

(13)

将式(13)代入式(12)得:

(14)

式(14)为非线性偏微分方程，求解过程比较困难，将通过Legendre转化对偶方法来求解对冲负债的DC型养老金的最优投资比例。

通过文献[8]将式(11)中价值函数转化为

(15)

其中,z≥0是Gt的对偶变量，令g(t,z)为在Gt最优点的取值。

g(t,z)=sup{Gt|J(t,Gt)≥zGt+J(t,Gt)}

(16)

通过式(15),式(16)可以得：

(17)

将式(17)代入式(14)得:

(18)

对式(18)进行求z的偏导，可以得到:

(19)

通过Legendre转化对偶方法理论将式(14)的二阶非线性偏微分方程转化为式(19),下面将利用具体的效用函数形式求解。

假设:

(20)

满足φ(T)=0。

将式(20)代入式(19)得:

求解得到:

(21)

将式(21)代入式(20)得:

(22)

通过式(13),式(17),式(22)可以得到对冲负债的DC型养老金的最优投资比例为

(23)

下面将分别从死亡率风险和通货膨胀风险的角度分析他们分别对对冲负债的DC型养老金最优投资策略的影响。

通过对式(23)的分析可以得到：

(1) 通货膨胀率μt为常数时,式(23)中rt、σt、αt、ρ、βt都是常数, 对式(23)求导得：

3 数值分析

为了更好地说明死亡率风险和通货膨胀风险对最优投资策略的影响，本节将用数值分析的方式，来分别讨论对冲负债的DC型养老基金的最优投资策略与生存概率px,t以及通货膨胀率μt之间的关系，生存概率px,t参照文献[11]的数据，通货膨胀率μt采取文献[10]的数据，假设养老金缴费成员在t时刻为55岁男性成员，T表示该成员退休时刻为60岁，对冲负债的DC型养老金投资期限[t,T]的范围为1～5年,其他具体参数取值见表1[12]。

表1 相关参数取值

当ρ=0.2时，图1和图2分别给出了在剩余投资期限下对冲负债的DC型养老金最优投资策略与生存概率以及通货膨胀率之间的关系(图1中Px,t=0.995,图2中μx=0.03)。

图1 养老基金最优投资策略与通货膨胀率、剩余投资期限图Fig.1 The optimal invetment strategy of pension and inflation rate as well as surplus investment duration diagram

图2 养老基金最优投资策略与生存概率、剩余投资期限Fig.2 The optimal investment strategy of pension,survival probability,and surplus invetment duration

当ρ=-0.2时，图3和图4分别给出了在剩余投资期限下对冲负债的DC型养老金最优投资策略与生存概率以及通货膨胀率之间的关系(图3中px,t=0.995，图4中μx=0.03)。

图3 养老基金最优投资策略与通货膨胀率、剩余投资期限Fig.3 The optimal investment strategy of pension,infla tion rate and surplus investment duration

图4 养老基金最优投资策略与生存概率、剩余投资期限Fig.4 The optimal investment straregy of pension,survival probability and sunplus investmrnt duration

对比图1和图3，图2和图4可以发现，随着相关系数ρ从正到负的变化，对冲负债的DC型养老金最优投资策略会加大对有风险资产的投资比例。

从图1—图4的比较可以发现，对冲负债所需的DC养老金最优投资策略随着投资期限的增加，通货膨胀所产生的影响要大于死亡率风险产生的影响。文中死亡率风险只影响负债过程，而通货膨胀风险涉及养老金的整个投资过程。

4 总 结

分析了在死亡率风险和通货膨胀风险下对冲负债的DC型养老金最优投资策略问题。假设养老金投资成员的资产投资、工资以及负债均为随机过程且受到通胀风险和死亡率风险的影响，对冲负债的DC型养老金投资目的为以养老金负债为计价单位的最终财富效用最小化，通过随机控制原理以及伊藤定理得到相应的HJB方程，再利用Legendre转化法求解出该问题的解析解。通过数值分析得出对冲负债的DC型养老金最优投资策略随着投资期限的增加受到通货膨胀风险的影响大于死亡率风险所产生的风险，而且随着通胀率的增大会增加对有风险资产的投资比例。