莫 凡

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)

0 引 言

1967年，Bregman等人在文献[1]中提出了一类新的函数dφ(现在称为Bregman度量)来代替传统的度量函数，用于分析最优化算法的可行性。设φ(x)是一个可微的严格真凸函数，定义点x,y的Bregman度量如下：

dφ(x,y)=φ(x)-φ(y)-[▽φ(y),x-y]
∀x,y∈dom(φ)

其中▽φ(y)是函数φ在点y处的梯度。

Bregman度量的提出开辟了越来越多新的研究领域，Bregman度量不仅解决了迭代算法的可行性和优化问题，而且也可以应用于求解变分不等式和非线性映射的不动点问题[9-12]。

现在，探究Bregman度量意义下函数的邻近映射，设f是Rn上的一个广义实值函数，φ是一个可微的严格真凸函数，邻近映射定义为

1 预备知识

首先给出一些必要的定义和引理。

定义1[1]设φ(x)是一个可微的严格真凸函数，定义点x,y的Bregman度量如下：

其中▽φ(y)是函数φ在点y处的梯度。

根据Bregman度量的定义即可以得到下面一个等式(1)，它在后面的结论中非常有用。

dφ(z,y)-dφ(x,y)=
f(z)-f(x)-<▽f(y),z-x>

(1)

其中x,y,z∈dom(φ)。

定义2[2]对任意的集合C⊆Rn，集合的指示函数定义为

定义3[2](强凸函数)函数f(x)称为强凸函数，若存在σ>0，对任意的λ∈[0,1]，有

引理1[10]若φ(x)是Rn→R的强凸函数，则Bregamn度量dφ(x,y)对于第一个变量dφ(·,y)是强凸函数。

引理2[2]设f(x)是Rn上的一个真、闭的强制函数，S⊆Rn是一个非空闭集，且S∩dom(f)≠∅，则f(x)在S上能取到最小值。

引理3[2]设f是Rn上闭的真强凸函数，则

①f有惟一的最小值;

引理4[2]设f:Rn→R是真凸函数，则x*∈argmin{f(x):x∈Rn}当且仅当0∈∂f(x*)。

2 主要结果及其证明

定义5 对于一个函数Rn→R，定义f(x)的邻近映射(proximal mapping)如下：

例1 对于φ(x)=x2(R→R)，λ>0，考虑下列函数的邻近映射：

①g1(x)≡0；

由邻近映射的定义可得：

其中，

若-λ+x2<0,则argming2(x)=0；若-λ+x2>0,则argming2(x)=x；若-λ+x2=0,则argming2(x)={x,0}。

综上可得：

③ 与② 类似可得：

证明由于φ(x)可微，则dφ(·,x)连续，所以dφ(·,x)是闭函数。由闭函数的可加性知g(u)=f(u)+dφ(u,x)是闭函数，根据条件g(u)是强制函数，由引理2知g(u)在Rn上能取到最小值,所以

也即非空。

定理3是第一邻近映射定理在Bregman度量下的推广。

定理3 设f:Rn→R是闭的真凸函数，φ(x)是可微的、闭的真凸函数，则对任意的x,y∈dom(φ)，下列3条结论等价：

①u=proxf(x)；

② ▽φ(x)-▽φ(u)∈∂f(u)；

③ <▽φ(x)-▽φ(u),y-u>≤f(y)-f(u)。

② ⟺ ③ ，根据次微分的定义，▽φ(x)-▽φ(u)∈∂f(u)，当且仅当f(y)≥f(u)+<▽φ(x)-▽φ(u),y-u>,∀y∈Rn，移项可得：

<▽φ(x)-▽φ(u),y-u>≤f(y)-f(u)，y∈Rn

证明x是f的最小值当且仅当0∈∂{f(x)+dφ(u,x)}⟺▽φ(x)-▽φ(u)∈∂f(u)，由定理3可知x=proxf(x)。

定义6 设C⊆Rn是非空闭凸集，定义点到集合的正交投影如下：

证明根据邻近映射的定义：

即证。

定理6 设C⊆Rn是非空闭凸集，f是闭的真凸函数，φ是可微的真凸函数，则对任意的x,y∈dom(φ)，有：

f(u)+dφ(u,x)≤f(v)+dφ(v,x)

f(v)+dφ(v,y)≤f(u)+dφ(u,y)

所以

f(u)-f(v)+φ(u)-φ(v)+<▽φ(x),v-u>≤0

(2)

f(v)-f(u)+φ(v)-φ(u)+<▽φ(y),u-v>≤0

(3)

式(2)(3)相加可得

<▽φ(x)-▽φ(y),v-u>≤0⟺
<▽φ(x)-▽φ(y),u-v>≥0

也即

令f(x)=δC(x)，由定理4知

所以

即证。