摘 要：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，当两正方形放在一起时，可以组题考查多种重点考点以及数学几何模型。善于发现题目当中涉及的手拉手模型、对角互补模型、一线三直角模型等重要的模型将有助于培养学生的数学思维能力。

关键词：正方形；结合；模型

正方形作为特殊的四边形，具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，堪称“完美”。当“完美”的两正方形放在一起时，可以组合成很多“完美”的试题。接下来本文就来探究关于两个正方形完美结合的中考试题。

一、 当顶点与顶点重合时，考查方向为手拉手模型

当两个正方形有公共顶点时，相邻的顶点连接的两条边形象地可以看作两双手，善于发现和应用这个模型，有助于提高学生的几何推理能力。

例1 如图，两个正方形ABCD与DEFG，连接AG、CE交于点H。

（1） 求证：△ADG≌△CDE；

（2） 试问线段AG和线段CE有什么关系？请说明理由；

（3） 求证：HD平分∠AHE。

简证：（1）由正方形的性质得出AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠GDE=90°，证出∠ADG=∠CDE，由SAS证明△ADG≌△CDE；（2）AG=CE，且AG⊥CE.由（1）得AG=CE，根据三角形内角和定理，可得∠AHC=90°，所以AG⊥CE；（3）由前两问利用等面积法可以得出全等三角形对应底边上的高相等，再根据角平分线的逆定理得出HD平分∠AHE。

[评析与延伸]本题在设置旋转的过程中要注意正方形的性质，挖掘可以证明三角形全等的条件。本题们还可以给出两个正方形的边长，去考查正方形DEFG绕点D旋转的过程中，△ACF的面积的取值范围。还可以进一步拓展等腰三角形或等边三角形的手拉手问题。

二、 顶点在中心或者对角线上，考查方向为对角互补模型

当正方形的一个顶点在另外一个正方的中心上或对角线上时，正方形重叠组成的四边形对角始终保持互补状态，此时的90°的对角互补模型需要抓住两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形的特性解决问题。

例2 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F。

（1） 求证：OE=OF；

（2） 若正方形ABCD的边长为1，试求旋转过程两个正方形重叠部分的面积。

简证：（1）由正方形的性质可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性质就可以得出OE=OF；（2）由全等可以得出S△BOE=S△COF，就可以得出S四边形OECF=S△BOC，S△BOC的面积就可以得出结论。

[评析与延伸]本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等得出OE=OF是关键。本题还可以考查正方形A′B′C′D′绕着点O旋转，EF的长度的最小值或给出参数边，结合二次函数求最值。

三、 顶点在边长上，考查方向为一线三直角模型

当有一个直角的顶点在另外一个正方形的边长上时，一条直线上的三个顶点含有三个相等的角此时就可以证明相似或全等实现边角的转化。

例3 如图，正方形的顶点在另一个正方形的边BC上（点D不与点B、C重合），且两个具有公共顶点A，

（1） 求证：∠BAD=∠CDE；

（2） 试求∠DCE的度数。

简证：（1）首先通过三角形的外角或者同角的余角相等可以得到∠BAD=∠CDE；（2）再作辅助线EH⊥BC于H，由（1）易得△DEH≌△ADB，推出EH=BD，DH=AB=BC，即得，CH=BD=EH，由EH⊥BC，推出△ECH为等腰直角三角形，即得，∠ECH=45°，即可推出∠DCE为135°。

[评析与延伸]本题的设置正方形顶点在一条边上，可以明显构造出一线三直角模型，根据已知推出△DEH≌△ADB，进而得到△ECH为等腰直角三角形。记直线本题还可以给出边，利用一线三等角模型证明△DPC∽△ABD，再去找对应边成比例。

以正方形為背景的题目通常难以突破，原因是没有很好地挖掘题目中隐含的模型，综合运用所学数学知识解题。在教育教学中，不断渗透数学思想和数学模型将有助于培养学生的数学思维能力。

参考文献：

[1] 张宁.以“共顶正方形”为模型的中考试题及变式探究[J].中学数学，2014（4）：92-94.

[2] 李印.探究由教材中的习题演变而来的中考试题[J].中国数学教育，2009（12）：34-36.

作者简介：陈成通，广东省东莞市，东莞市光明中学。