王梓蘅

摘 要：函数在高中数学中的地位是非常重要的，其中抽象函数，由于它的抽象性、隐蔽性和复杂性，抽象函数问题成为高中函数内容中的重难点。本文在论述了抽象函数含义的基础上，通过具体的实例分析了抽象函数的若干问题及其解法，以期加深对抽象函数的理解，提高对抽象函数问题解题的能力。

关键词：抽象函数；问题；解法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-172-02

一、抽象函数

抽象函数指的是只给出函数的性质而未给出具体函数解析式的函数。它的一般形式为y=f（x），或者还附有定义域、值域等，比如y=f（x），（x>0，y>0）。具体来看，主要有以下几种形式：

二、抽象函数的若干问题及解法

由于抽象函数表现形式是抽象的，所以它是函数学习中的难点之一。抽象函数抽象性强，灵活性大，解答这类问题就需要先对题设条件进行分析、观察和联想，寻找出具体的函数模型，再抓住函数中的某些性质，通过部分性质或者是图像性质，之后利用常规的数学方法，比如数形结合法等就能解题。

1、求抽象函数的定义域

例1：已知函数f（x）的定义域[-2，2]，求函数g（x）=f（-x）·f（x2）的定义域。

函数的定义域指的是自变量的取值范围。通过题设条件，我们要知道f（x）、f（-x）和f（x2）中的式子地位是等同的，即x、-x、x2都在[-2，2]内。又因为g（x）是f（x）复合而成的，所以只要求出各个函数的定义域，然后再求交集就可以。

因为函数f（x）的定义域[-2，2]，所以-2≤x≤2，同时-2≤x2≤2，根据范围求出- ≤x≤ ，因此g（x）=f（-x）·f（x2）的定义域是[- ， ]。

2、求抽象函数的值域

例2：已知函数y=f（x+1）的值域是[-1，1]，求函数y=f（3x+2）的值域。

函数的三个要素分别是定义域、值域和对应法则。当函数的定义域和对应法则完全相同时，值域也是一样的。因为函数y=f（x+1）与函数y=f（3x+2）的定义域和对应法则是相同的，所以两者的值域也是相同的。因此，函数y=f（3x+2）的值域是[-1，1]。

例3：已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（-1）=-2，求f（x）在[-2，1]上的值域。

由题设条件，我们可以知道f（x）是y=ax，（a≠0）的抽象函数，求它的值域关键在于研究其单调性。设x10。当x>0时，f（x）>0，所以f（x2-x1）>0。又因为f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，也就是f（x2）>f（x1），那么f（x）是增函数。我们令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），再令x=y=0，则f（0）=2f（0），所以f（0）=0，f（x）=f（-x），也就是说f（x）是奇函数，所以f（-1）=-f（1）=2，又有f（-2）=2f（-1）=-4，f（x）在[-2，1]上的值域是[-4，2]。

3、求抽象函数的周期性

对于函数y=f（x），若存在非零实数T，使得定义域内的任意x值，f（x）=f（x+T）都成立，那么f（x）是周期函数，T是f（x）的周期。常见类型主要有四种：一是函数关于两个点都成中心对称；二是函数关于两条直线都成轴对称；三是函数不仅关于一点中心对称，而且关于不过中心的直线也成轴对称；四是函数递推式。

例4：定義在实数集上的函数f（x）满足a> f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x、y R）。若存在实数b>0，使f（ ）=0。求证f（x）是周期函数。

根据题设条件，我们可以判断出这个类型属于第四类，求得函数的递推式就可以完成证明。因我们要的递推式是f（x）与f（x+c）的关系式，所以等式右边应该有f（ ）。又因为f（ ）=0，令x+ 代替x， 代替y就可以使右边为0，即f[（x+ +） ]+f[（x+ ）- ]=f（x+b）+f（x）=0，那么f（x+b）=-f（x），所以f（x+2b）=-f（x+b）=f（x），因此f（x）是周期函数。

4、求抽象函数的解析式

例5：若函数f（x）、g（x）的定义域是R，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，而且满足f（x）+g（x）= ，求函数f（x）的解析式。

根据已知等式，令-x代替x，得到f（-x）+g（-x）= 。再根据函数的奇偶性，我们可以得到-f（x）+g（x）= ，又f（x）+g（x）= ，f（x）+g（x）-[-f（x）+g（x）]=2f（x）= - = ，所以f（x）= 。

这个例子的解法属于构造法。当一个等式中同时出现f（x）与f（-x）、f（x）与f（ ）等形式时，我们就可以用构造法来进行解析式的求解。当然，求抽象函数的解析式的方法有很多，常见的有换元法、待定系数法和特殊值法等。只要我们认真观察已给的条件，并做出分析，灵活运用这些方法就能求出抽象函数的解析式。

5、求抽象函数的值

例6：已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，它的图像关于直线x=1对称，对任意的x1、x2 [0， ]都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），且f（1）=m>0，求f（ ）和f（ ）。

根据已知条件f（1）=f（ + ）=f（ ）·f（ ）=f（ ）2=m，所以f（ ）= 。又f（ ）=f（ + ）=f（ ）2= ，所以f（ ）= 。

三、总结

抽象函数是只给出一些函数符号和满足条件的函数，而没有具体解析式的函数。所以，抽象函数具有一定的抽象性。认识抽象函数的若干问题和解法，对抽象函数的内容进行细致地分析与比较，能够帮助我们提高抽象函数的解答效率，加深我们对抽象函数的理解。

参考文献

[1] 林少安，对抽象函数周期性的研究[J]，理科考试研究：高中版2004（9）：18-20

[2] 武增明，如何求抽象函数的函数值[J]，数理天地：高中版2016（3）：30-31