牛浩成

摘 要：函数是数学知识中的重要组成部分，其中，函数的最值问题，包括函数的最大值与最小值是学习函数时的重难点。不论是初等数学还是高等数学，我们都会遇到各种各样求函数最大值与最小值的问题。本文在概述了函数最大值与最小值涵义的基础上，通过实例具体分析了一次函数、二次函数、简单的分式函数和无理函数的最大值最小值问题。

关键词：函数；最大值；最小值

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-090-02

一、函数最大值与最小值的涵义

一般情况下，函数最值分为函数的最大值与最小值。函数的最大值与最小值指的是函数在整个定义区域内函数值的最大值与最小值。从几何意义上来说，函数最大（小）值指的是函数图像的最高（低）点的纵坐标。

假设函数y=f（x）的定义域是I，如果存在实数A满足两点：一是对于任意实数x I，都有f（x）≥A；二是存在x0 I，使得f（x0）=A，那么实数A就是函数y=f（x）的最小值。假设函数y=f（x）的定义域是I，如果存在实数A满足两点：一是对于任意实数x I，都有f（x）≤A；二是存在x0 I，使得f（x0）=A，那么实数A就是函数y=f（x）的最大值。

二、函数最大值与最小值的应用

1、一次函数

一次函数又称作线性函数，在直角坐标系中可以用一条直线来表示。当一次函数其中一个变量的值确定时，我们就可以利用一元一次方程来求解。对于一次函数y=ax+b，只要x有范围，那么该函数就有最大值或者是最小值，或者是两个都有，而且与a的取值范围有很大的关系。第一，当-0，有最大值ac+b，没有最小值；若a<0，有最小值ac+b，没有最大值。第二，当d≤x< 时，若a>0，有最小值ad+b，没有最大值；若a<0，有最大值ad+b，没有最小值。第三，当d≤x≤c时，若a>0，有最大值ac+b，最小值ad+b；若a<0，有最小值ac+b，最大值ad+b。

例1：已知a>0，求函数y=ax- （1+x），当1≤x≤2时的最大值与最小值。

函数是一次函数，通过已知条件y=ax- （1+x）整理得到y=（a- ）x- ，由于系数不确定，所以我们要分情况进行讨论。当a- >0时， >0，又因为a>0，可以得到a2-4>0，这个时候02时，函数y=ax- （1+x）有最大值a- ，最小值2a- ；当0

2、二次函数

一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。当二次函数的定义域为一切实数时，值域要分为两种情况进行讨论。第一，当a>0时， ≤y<+ ；第二，当a<0时，-

例2：已知二次函数y=x2-4x+5，当a≤x≤a+1时，有最小值g（a），求函数g（a）的表达式。

根据已知条件y=x2-4x+5，得到y=（x-2）2+1，那么函數的对称轴就是x=2。接着我们要判断这一对称轴是否在x的取值范围内。第一，当对称轴在x取值范围的左边时，即a>2时，函数在a≤x≤a+1时是递增的，所以函数的最小值是x=t时对应的函数值，那么g（a）=f（a）=a2-4a+5。第二，当对称轴在a与a+1之间时，a≤2≤a+1，即1≤a≤2，这时函数的最小值是x=2时对应的函数值，那么g（a）=22-4·2+5=1。第三，当对称轴在x取值范围的右边时，即a+1<2，a<1，函数在a≤x≤a+1时是递减的，所以函数的最小值是x=a+1时对应的函数值，那么g（a）=（a+1）2-4（a+1）+5=a2-2a+2。

3、简单的分式函数

对于简单的分式函数，形如f（x）= 最大值与最小值的求解，最常用的方法是去分母将其转化为关于x的一元二次方程，之后利用判别式 ≥0求出f（x）的取值范围。

例3：求函数y= 的最大值与最小值。

首先因为2x2+2x+1=2（x+ ）2+ >0，所以函数的定义域是R，之后将已知函数y= 变成关于x的一元二次方程，（2y-1）x2+（2y+2）x+y+3=0。第一，当y= 时，求得x=- ；第二，当y≠ 时，根据判别式 ≥0，即（2y-1）x2+（2y+2）x+y+3=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0，得到-4≤y≤1。因此，当x=-2时，函数y= 取得最大值，最大值是1；当x=- 时，函数y= 取得最小值，最小值是-4。

4、无理函数

对于一般的无理函数，我们要将其转化成有理函数或者是整式函数，然后再进行最大值与最小值的求解。但是要注意的是，在转化的过程中有可能会扩大函数的定义域，所以在求解结束后，一定要将所求结果代入原来的定义域进行检查，以确保答案的正确性。

例4：求函数y= 的最小值。

首先先将函数有理化，函数y= = ，再利用不等式的性质，由于（x-3）+ ≥2 =8，所以y≥ = ，当且仅当x-3= ，即x=7。最后将x=7带入检验，满足定义域x≥3这个条件，所以函数y= 的最小值是 。

一、总结

函数的最大值与最小值是学习函数时的重难点。我们要根据一次函数、二次函数、简单的分式函数和无理函数的特点利用不同的方法对函数的最大值与最小值进行求解，这样才能提高我们解决问题与综合运用知识的能力。

参考文献

[1] 余 文，函数的最大最小值[M]，浙江人民出版社1981

[2] 熊 斌、白 薇，函数的最大值与最小值[J]，数学学习与研究：中考考生适用2007（4） ：70-72

[3] 叶小兵，用判别式法求函数的值域[J]，数理天地：高中版2016（1） ：11