江苏师范大学附属实验学校 鹿 静

苏教版高中数学《圆的一般方程》教学研究

江苏师范大学附属实验学校 鹿 静

人类具有学习的内在属性与自然倾向，而主动学习是人不同于其他生物的基本潜能，因而，教学的主要任务应为创设一种对学生潜能发挥有利的情境，将学习过程演变成学生对知识的主动发现、探索的过程。本文以苏教版高中数学《圆的一般方程》为例，探讨此课程的教学设计策略。

高中数学；《圆的一般方程》；教学；设计

圆的一般方程是继圆的标准方程之后延伸出的新形式，当学生完成圆的标准方程与直线方程的学习后，对解析几何当中研究问题的方法已有较深认识，这为学生深入探究圆的一般方程奠定了良好基础。本文基于苏教版《圆的一般方程》的课程要求，在教学中坚持“以教师为主导，以学生为主体，以问题为主线，以思维为核心”的“三主一核心”原则，通过课前精心设计以及课堂中即时生成系列问题，以问题为驱动，引导学生高效探究，开发学生主动学习潜能，提升学习质量。

一、问题指引，探究方程

教师：通过之前的课程学习，我们了解到圆在平面直角坐标系中，可用方程：（x-a）2+（y-b）2=r2表示，我们将其称为标准方程，反之，还可用方程（x-a）2+（y-b）2=r2表示圆。现在请同学们完成如下问题：

问题1：判断下列方程，分析其是否为圆的方程，如果是，指出其半径与圆心。

问题2：如果用（4）来表示圆，大家有何看法？（此时学生开始思考与讨论）

学生：圆的方程没有必要一定写成标准形式，还可以写成与x、y有关的二元二次形式。

问题3：究竟哪些类型的二元二次方程可以表示圆？

学生：应该是那些经配方转换可以变成标准方程的，也就是说，展开标准方程后，所得到的二元二次方程可表示圆。

二、意义建构，构建概念

学生讨论后，最终达成共识，将其定义为“圆的一般方程”。

问题4：圆的一般方程都有哪些比较突出的特点呢？两种不同形式的方程之间又有怎样的联系？（留给学生独立思考时间）。

学生：（1）方程当中有3个参数：D、E、F；（2）x2的系数为1，y2的系数也为1；（3）不含xy项。

学生：展开标准方程后便可得到一般方程，然后把一般方程进行配方，即可得到标准方程，在两个方程当中，均有3个参数。

教师：大家可以发现，标准方程展现其“形”的特点为：从方程便可看出其半径与圆心，而对于一般方程，注重的是“术”的特性。

学生：可以，但是须让B=0，A=C。

学生：不太全面，须有B=0，A=C≠0，另外，还需D2+E2-4AF＞0。

教师：很好！同学们认真欣赏圆的两种形式的方程，如此简捷、和谐，与“圆”的几何形态很匹配。

三、简化应用，增强理解

问题6：对下列二元二次方程进行判断，观察其是否可以表示圆？若能，求出半径与圆心坐标。

学生独立思考，彼此互评，可以直接用D、E、F之间的关系来判断，也可以转化为标准方程。

四、巧妙应用，强化能力

问题7：已知△ABC的顶点分别为：A（4，3）、B（5，2）、C（1，0），求△ABC外接圆的方程。

学生：用圆的垂径分弦定理也能求出，首先将弦AB的中垂线方程求出，AC的中垂线方程也可求出，其交点便是外接圆的圆心。至此，便能求出标准方程。

教师：同学们真是太厉害了！这种验证、猜想与观察的科学意识，正是大家需要培养与学习的。

五、提炼小结与反思

问题8：请同学们归总以下，本节课你都有哪些收获？

学生：了解并掌握了圆的一般方程；圆的两种形式方程的区别与联系。

教师：通过圆的一般方程，我们从中可以感知到等价转化、分类讨论的数学思想及抽象概括的数学意识；通过求圆的方程，让我们知道方程的思想与选择、比较的数学意识。这些数学思想与方法是数学的根本与灵魂，还是解决数学问题的关键所在。

综上，本文以问题为驱动，用探究的方式来引导学生认知圆的一般方程的知识，这样有助于激发学生的主动提问意识以及求知欲，因而可以较好地提升教学效率与质量。

[1]汪得志.怎样学好高中数学——高中数学学习方法探讨[J].教育教学论坛，2017（04）：275-276.

[2]李昌官.高中数学“导研式教学”研究与实践[J].课程·教材·教法，2013，33（02）：59-65.