如何培养初中生利用二次函数解决问题的能力

2017-11-17江苏省丰县创新外国语中学唐义琴

数学大世界 2017年30期

江苏省丰县创新外国语中学唐义琴

江苏省丰县创新外国语中学唐义琴

二次函数属于初中数学内容的一部分，它与代数、三角函数等相联系。近几年，由于二次函数题目灵活，难度较大，因此在综合题型中所占比例较大。基于此，本文对如何培养初中生利用二次函数解决问题的能力进行研究，采用文献法、实例论证法等，从利用几何画板视角，提出培养初中生利用二次函数解决问题能力的方法，为数学教育工作者教授二次函数提供一定的帮助，对推进素质教育具有重要的现实意义。

初中生；二次函数；解决问题；能力

目前，由于受传统教学方法的影响，初中生对数学知识的利用能力不强，特别是利用二次函数解决问题的能力较弱，这不仅是由于二次函数所涉及的内容较多，还与学生自身的学习能力有关。为了培养初中生利用二次函数解决问题的能力，本文从自主探究方法、数形结合法及化归转换法使用去解决相关问题，以此提高初中生利用二次函数解决问题的能力。

一、利用自主探究方法解决函数图形变化中说理问题

在数学学习中，学生是学习的主人，通过老师的引导参与到学习活动中去，从而获得各种知识。而自主研究类题目是先对给定的一个图形进行研究，然后在某些条件发生改变时，则相应给定的图形会发生改变，相关的理论也会发生改变。

例如：在如下的直角坐标系中，点A是二次函数y=x2在第二象限内的任意一点，连接OA，过点O作OB⊥OA，与图象相交于点B，分别以OB、OA为边构造矩形ACBO。如图1所示，当点A的横坐标为时，矩形ACBO是一个正方形。

图1

图2

分析：过点A作x轴的垂线，垂足为点D，因为四边形AOBC为正方形，所以∠COA为45°，那么，∠AOD=45°。通过证明得到△AOD是等腰直角三角形，将A点的坐标设为（-a，a），把点A坐标代入y=x2计算即可。

解：（1）如图2，过点A作AD垂直x轴于点D，

∵矩形AOBC是正方形， ∴∠AOC＝45°，

∴∠AOD＝45°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

设点A（－a，a）（a≠0），

∴（－a）2＝a，

∴a1=-1，a2=0（不合题意，舍去），

∴-a1=-1，

∴当点A的横坐标为 -1 时，矩形ACBO是一个正方形。

二、利用数形结合法解决函数图形变化中蕴含的函数问题

函数图形变化的试题比较难，通常在考试压轴题中出现。图象运动变化作为主要特征，在变化的过程中，需要找到两个变量之间的某种关系，根据题目的要求，以此求解自变量的取值范围，最终寻找出符合题目条件的特殊性，这种特殊性需要应用数形结合思想。

例如：如图3，已知直线l:y=-x+2与y轴相交于点A，二次函数y=（x-1）2+k经过点A，顶点为点B，另一个函数y=（x-h）2+ 2-h（h＞1）的顶点为点D，两个二次函数的图象相交于点C。（1）求出点B的坐标，并说明点D在直线l上；（2）设交点C的横坐标为m，则交点C的纵坐标为多少？由此进一步探究m关于h的函数关系式。

图3

图4

分析：对于此题，若想求m的大小，需要将以上的数值进行求解，具体步骤如下：

解：（1）当x=0 时，y=2， ∴A（0，2），

∴1+k=2 ，∴k=1， ∴B（1，1）。

∵D（h，2﹣h），

∴当x=h时，y=﹣x+2=﹣h+2=2﹣h。

∴点D在直线l上。

（2）∵点C为两二次函数图象交点，

三、利用化归转换法解决函数图象中动点形成的相似问题

二次函数是初中函数的主要内容，作为高中圆锥曲线的基础，通常与相关的几何图形相联系，其涉及最大面积、最小距离的问题，需要建立二次函数关系式，通过运用二次函数解决实际问题。对于函数图象中动点形成的相似问题，需要根据图形之间的数量关系，利用数形结合思想与方程思想，形成一元二次方程，求解点的坐标，得到函数解析式。利用几何画板，反映其几何关系，当条件和结论变化时，从诸多方面对数学问题的变化进行分析，在不同条件下找到解决问题的方法，将代数问题转化为几何问题，把抽象问题转化为形象问题，以此促进学生积极思考。

例如：如图5，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点A的坐标为（1，0），交点B的坐标为（2，0），与y轴相交于点C（0，2），过点A、点C画直线AC。（1）求二次函数的解析式；（2）若点P在x轴的正半轴上，并且PA=PC，求线段OP的长度。