王运行

超几何分布是人教A版选修2-3中的内容，也是概率统计中学生理解起来比较困难的一部分内容。教材中对于超几何分布是以数学模型的定义形式给出，定义形式与二项式分布极为近似，很容易混淆。那么超几何分布与二项式分布之间到底有没有联系呢？接下来笔者将引用2017年甘肃省第二次诊断考试18题对此问题进行探究。

这道题的内容是：甘肅省瓜州县自古就以盛产“美瓜”而名扬中外，生产的“瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，糖含量达14%～19%，是消暑止渴的佳品，有诗赞曰：冰泉浸玉露，霸刀破黄金：凉冷消晚暑，清甘洗渴心。调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度、日照时长、温差有极强的相关性，分别用x，y，z表示蜜瓜甜度与海拔高度、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优。再用综合指标W=x+y+z的值评定蜜瓜的等级，若W≥4，则为一级；若2≤W≤3，则为二级；若0≤W≤1，则为三级。近年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：

■

（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为一级的蜜瓜种植地的数量；

（2）在所取样本的二级和三级蜜瓜种植地中任取两块，X表示取到三级蜜瓜种植地的数量，求随机变量X的分布列及数学期望。

这道题的第（2）问考查内容很简单，分析题目条件就可以发现，这道题是“无放回”抽取，是超几何分布，分布如下：

■

可得E（X）=1×■+2×■=■

但是很多学生没有读懂题意，将“无放回”抽取当做了“有放回”抽取，于是把这道题当做一道二项分布去做，分布列如下式：

■

得到此时。E（X）=1×■+2×■=■

观察结果，我们发现两种方法的计算结果竟然是相同的。这到底是偶然，还是超几何分布与二项式分布的期望真的存在某种必然性的联系，这个问题引发了笔者的思考，并就此进行了一系列的探究。

我们首先猜想将不放回的“超几何分布”题目改变为有放回的“二项分布”时，两种情况所得到的期望相同。

由此产生如下证明：有N件产品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，则其中恰好抽到的次品件数X是服从二项分布，即X～B（n，p），其中P=■，其中n≤M≤N

■

那么由二项分布的性质可知E（X）=np=n■

若将上述问题中“有放回”改为“无放回”：有N件产品，其中M件次品，无放回地任意抽取n件，则其中恰好抽到的次品件数X是服从超几何分布的，其中n≤M≤N，其分布列

■

那么E（X）=■k■，由组合数的性质：KCkm=

MCk-1M-1，nCnN=NCn-1N-1

E（X）=■k■=■■=■■

=■■Cn-kN-M·Ck-1M-1

注意到：（1+x）N-M·（1+x）M-1=（1+x）N-1

由两边xn-1系数相等，得

Cn-1N-M·C0M-1+Cn-2N-M·C1M-1+…+Cn-kN-M·CkM-1+…+C0N-M·Cn-1M-1=Cn-1N-1即

■Cn-kN-M·Ck-1M-1=Cn-1N-1

所以E（X）=■k·■=n·■

由以上证明可得猜想正确。

结论：将不放回的“超几何分布”题目改变为有放回的“二项分布”时，两种情况所得到的期望相同，这个结论在解决有关超几何分布期望的选择题以及填空题的过程中可以快速地判断结果，为学生在考试过程中节省时间。