张晶

摘 要：教育的不斷改革与发展，对学生各项能力的要求越来越高，逻辑思维能力和分析表达能力是学生必不可少的两项能力，而学生的这两项能力并非与生俱来，而是在后天的不断锻炼中习得的。高中阶段的数学题目逻辑性较强，教师对学生的解题能力进行培养有助于提高学生的各项能力，促进学生的全面发展。

关键词：高中数学；解题技巧；数形结合

数学思想是只显示时间的空间形式和数量关系反映到人们的意识中，经过思维活动而产生的结果，是数学的精髓。教师在对学生解题能力的培养过程中引入各类数学思想，有利于培养学生的思维能力，使学生掌握各类解题技巧，不断培养学生的解题能力，促进其思维能力的发展。本文着重论述“数形结合”思想在高中数学解题中的应用。

一、以数辅形解决几何类问题

高中阶段的几何证明题往往需要学生在图中作辅助线，寻求平行、垂直等条件，这样容易在寻求条件时出现差错。而在解决几何类问题时用代数方法辅助解决，有利于将几何证明过程中复杂的一部分转化为相对简单的代数运算问题。例如，在教学“计算二面角的大小”的相关应用题时，教师应为学生指出：二面角大小的一般求法是找出两个平面的法向量，使两个法向量构成一个三角形，在三角形内找到两个法向量对应边形成的夹角，并通过余弦定理计算大小，而在寻找两个平面的法向量时，一般要作许多辅助线，从而使原图变得混乱，不利于学生的进一步作图。此时较为简单的方法是，以图中的一点为圆心，构建一个空间直角坐标系，并假设其中一边长度为a，列出图中所有点对应的坐标，由于每个面的法向量都垂直于这个平面，因此可以通过平面中两条边对应向量的表达式计算出两个平面法向量的表达式，通过几何关系判断出“二面角与其法向量夹角的正弦值相等”这一条件，通过关系式“■·■=A·B·cosα”算出两平面法向量夹角的余弦值，再通过“对于任意角α，它的正弦值平方加余弦值平方和等于一”这一条件计算出两法向量夹角的正弦值，也就计算出了二面角的正弦值，假设二面角正弦值为b，那么二面角的大小就为arcsinb。不单单是二面角问题，很多几何类问题都可以用代数知识辅助解答，教师在教学中应告诉学生以数辅形的思路，不断提高学生的解题能力。

二、以形助数解决代数类问题

高中阶段的代数运算问题往往步骤繁多且运算量大，对学生的计算能力要求很高，而不同学生之间的计算能力存在很大差异，因此，教师对代数运算问题不能一味依赖学生的计算能力，而要用“形”减少学生的计算量。例如，在教学“直线与圆的位置关系”一课的相关题目时，常见题型为给出含有未知数的圆和直线的表达式以及圆和直线相切的条件，让学生判断未知数是多少，即让学生计算出圆和直线的表达式分别是什么。学生对相切的第一感觉往往是Δ=0，即直线方程和圆方程联立后的函数Ax2+Bx+C=0满足B2-4AC=0，而直线方程是一次方程，圆的方程是二次方程，学生在联立过程中由于运算量较大，在对平方进行运算时很有可能出现错误。教师在教学过程中，应为学生画出直线与圆相切的图像，让学生通过观察得出“当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径”这一结论，从而利用“方程式为（x-a）2+（y-b）2=r2的圆圆心坐标为（a，b）、半径为r”以及“点（a，b）到直线Ax+By+C=0的距离为■”两个条件，列出“圆心到直线距离等于圆的半径”这一条件对应的等式，解出未知数的值。在教学计算量较大的代数问题时，教师应让学生画出图形，通过对图形的观察发现图形的特点，从而发现更简单的方法，减少运算量，避免因为运算量过大致使运算出错的情况发生。

三、不断培养学生养成数形结合的思维模式

数学思想是数学的精髓，使学生对其良好掌握和使用的目的不仅在于增强自身解题能力、提高自身数学成绩，更在于学生在对其的运用过程中可以形成自身的思维模式，培养自身的思维能力。因此，教师在对学生引入数形结合思想的同时，相较于让学生体会数形结合思想的优势，更应该在解题过程中鼓励学生不断对数形结合思想进行运用，不断鼓励学生，使学生逐渐具有数形结合的思维模式。高中阶段许多类型的应用题都可以运用到数形结合思想，例如点和圆及直线和圆的位置关系、椭圆的第二定义、圆的垂径定理等等，教师在对这些问题进行教学时，要让学生不断对数形结合思想进行应用，使学生不断熟悉这种思想，使数形结合思想成为自身解题的一种思维模式。

数学思想在教学中的引入与应用，不仅有利于提高学生解题能力，更有利于不断培养学生的逻辑分析和思维能力，在提高学生数学解题能力的同时，促进学生全面发展。本文结合数形结合思想的定义及特点，从以数辅形解决几何类问题、以形助数解决代数类问题以及不断培养学生养成数形结合的思维模式三个方面，对高中数学教学中“数形结合”思想的应用进行了探讨，并提出相关建议，以促进高中生数学解题能力的不断提高以及思维能力的不断提升。

参考文献：

[1]孙斌.高中数学数形结合思想应用的探究[J].新校园（学习），2011（12）.

[2]温洪.高中数学中的数形结合思想：高中数学数形结合思想教学分析[J].新课程学习，2014（11）.