管 涛， 左 萍

(中国人民公安大学信息技术与网络安全学院， 北京 102600)

基于微课的数学课程改革研究

管 涛， 左 萍

(中国人民公安大学信息技术与网络安全学院， 北京 102600)

微课是以教学视频为主要载体，反映教师在课堂教学过程中对某个知识点或教学环节而开展教与学活动的各种教学资源有机组合。针对公安大学数学课程体系中的一些结构性问题，分析了当前数学课程的教学定位以及教学要求，研究了微课概念的引入对现有数学课程结构的革新，并提出基于“微课辅助教学”思想的数学课程体系改革方案以及具体各门数学课的微课建设框架。

微课； 直观性教学； 应用型课程

0 引言

微课是本世纪新兴的一种授课模式[1]。微课诞生于2008年，戴维·彭罗斯在美国的新墨西哥州圣胡安学院首创一分钟课堂并将其命名为Microlecture。在我国，微课的概念首次是在2011年由广东教育学会的胡铁生教授引入和倡导的。最初，基于微课形式上的趣味性，微课视频主要应用于中小学的教学中，2012年，教育部开始筹备举办首届全国高校微课教学比赛，标志着在高校范围内也开始推广这一授课模式，随后各学科的微课教学比赛也逐步开展起来。目前，很多高等院校都建立了微课网络系统，并成功地与现有教学体系接轨，与传统教学模式相辅相成，不同程度的实现了慕课、翻转课堂等授课体系。

数学是一门历史悠久、非常成熟的学科，有其自身独有的规律。数学知识的结构体系十分严谨，环环相扣，其知识又十分抽象，如果没有前置的理论基础，后续学习就只是空中楼阁。数学学习过程中最大的特点就是不能单纯的靠老师讲解，需要不断地思考，将知识结构并辅助以直观实例作为支撑，在其中融入自己的理解，才能添加到已有的知识体系中。当然作为教师，也需要合理设计教学方法，尽力提高学生消化知识的效率。具体实现的手段还需要进一步探索，而微课恰好可以承担体现教学直观性和应用性的一个改革平台。

1 微课的主要特点

微课与一般课程教学有所不同，微课的载体是视频，其核心要素是短，不超过10分钟，个别视频稍长但也不会超过15分钟，如果视频过长，那必然会增加观众的疲劳度，影响观众学习的效果。如果一次录制45分钟的教学视频，那就和普通授课没有区别了。由于微课视频的基本属性，其必然有如下几个的特点。

(1)短小精悍，时间紧凑。单个微课视频不超过15分钟，相对于近1个小时的传统课堂授课来说时间短了很多，在这么短的时间中，观众可以集中精力进行学习，不会产生连续上课造成的精神疲惫，达到事半功倍的效果。

(2)主题突出，切中要点。由于时间紧凑，单个的微课视频通常都是针对一个重要知识点进行讲解，这样课程的主题相对突出，教学内容更加紧凑，学习目的十分明确，让观众一目了然，能很容易就可以把握住讲解者的思路。

(3)形式多样，便于整合。单个微课看起来很“碎片化”，只是讲授一个单一的知识点或者解决一个单一的问题，甚至仅仅是一个科普介绍。但是一系列形式属性各不相同的微课就可以围绕一个主题形成一个完整的课堂教学流程，从开始的导论引入，到关键知识点的讲解，以及重难点知识的对应练习，甚至可以包括学生的学习质量反馈。另外，多个文件的模式便于整合，可以随时增加或者删除某些模块，更换其中需要添加的新内容或者讲授质量有缺憾的部分。

(4)任意观看，无限播放。传统课程讲授的时间线是单一的，学生必须在指定时间到指定地点学习指定的内容，而且课堂上稍有思维不集中就可能丢失关键知识点，这对于环环相扣的数学学习来讲是致命的。微课解决了这些问题，让观众可以在任意自己方便的时间进行学习，同时可以针对自己的情况进行自主的学习，例如对第一章比较熟悉的观众可以直接从第二章开始学起，如果某一部分没有听明白，只要动动鼠标或划划屏幕就可以让老师重新讲解一遍，这样的学习模式必然会对授课质量产生正影响。

(5)依托网络，灵活自如。可以看出，微课是课堂教学与“互联网+”的深度融合，微课视频容量不大，可以很方便的在电脑、手机等各种终端上下载观看，观众可以对自己的学习环境进行自主的把控和调节，使学习过程变得相对轻松。

因此，如果可以合理利用微课的这些特性，微课必然能充分发挥其优势，成为现有传统课堂教学的有力补充。

2 数学课程的现状及当前面临的问题

大学数学课程当前面临着以下结构性问题：

(1)过度的体现了数学的严密性和抽象化。数学科学是最讲求严密逻辑的科学，但是对于初学者来说，过于严密的逻辑会使得数学知识复杂化，同一个定理，在数学专业的数学分析教材中和理工科的高等数学教材中，其叙述形式都有天壤之别。高校中学习高等数学的绝大部分学生将来并不是要成为数学工作者，因此过分追求逻辑严密和抽象化会让学习过程变得事倍功半。

(2)数学知识的讲授过于孤立。数学是科学之母，可以说任何一门科学都离不开数学的支撑，但是大部分高校中数学课程的学时都不宽裕，因此授课过程中没有机会体现数学和其他学科之间的联系，也无法展现数学对其他学科门类的支撑作用。这样的授课过程显得十分单薄，让学生提不起学习的兴趣。使学生感觉数学学习很“恐怖”[3]。

(3)受数学发展历史的影响，大学数学很多概念都篇幅较长，让学生望而却步。现在高校通行的高等数学教学进度以及层次安排，和历史上的数学发展史并不一致。高等数学在17世纪由牛顿和莱布尼茨分别创立时是极不严密的，当时发明微积分是为了解决物理学上遇到的一系列新问题，偏重于应用，直到19世纪中后期对概念的阐述才比较严谨。这就导致高等数学的每个章节中，最初的概念叙述都相当繁杂，吓退了学生，事实上如果继续学下去，待到知识成为体系后，对知识的运用反倒会变得简单。如果能在每一章节之前增加一个综述环节，那么可以部分消解学生的畏惧情绪。

另外，数学本身的学科特点使得学生上课时必须集中精力，思维敏捷。因为数学科学中充满了严密的推理，因此学习者必须时刻都跟得上教师的进度，很多学生习惯于做笔记，记录下教师写的每行字，事实上这种方法在传统数学学习中是不可取的。更有效的学习方法应该是以动脑为主，思维跟上讲授者，对于关键的一些要点进行记录即可。但是作为刚刚步入大学校门的学生，对这个度的把握似乎还有一些力不从心。

针对上述这些问题，在应用型高校以及专业特色明显的高校中，数学课程改革的方向应该是在教学中体现数学的直观性和应用性，以直观性来缓解学生的学习压力，以应用性来激发学生的学习兴趣[2]。但是在课时量并不充裕的条件下，再添加直观解释以及应用实例这样一些元素，是否会破坏数学课程原有的逻辑体系？是否会导致正常教学的课时不足而影响教学质量？在数学教学中延伸出直观性和应用性时如何保证学生思维的连贯？我们可以借助微课模式来解决大学数学教学过程中的一系列问题，实现直观性和应用性教学这一创新。

3 微课对传统数学授课的辅助模式

在现有教学体制下，传统的课堂授课模式依然是高等教育中必不可少的主流环节，不可能从根基上完全否定来进行革新。微课这种模式只能作为传统教学基础上的一种辅助和补充。也就是一些传统课堂上没有时间讲的纲领性内容，以及和正规授课流程偏差较大的一些辅助内容，针对部分有扩展需求的学生还可以讲授一些外延内容。

首先，针对每章的知识框架进行一次总体纲领的讲授。前面提到，高等数学和初等数学最大的差别就在于高等数学基本概念的复杂度更高，例如高等数学的第一个概念“极限”，其定义就有近百字，而且采用了一阶逻辑的量词描述；再如线性代数的第一个重要概念“行列式”，需要由奇偶排列、逆序数等一系列定义才可以引出。这种现象的形成和数学科学在历史上的发展有关，课本讲授顺序和数学科学发展的历史时间线并不一致，比如极限等微积分概念就是在17世纪由牛顿和莱布尼茨分别发明并用来解决实际问题的，到了19世纪中期才由柯西、维尔斯特拉斯等人给出真正严密的定义。在课堂学习中，这些概念以及带来的复杂运算会随着后续的学习中知识体系的逐步建立而化解，但是却让很多学生因为畏惧其繁复的表述而望而却步，导致整门课的学习都受到影响。如果在讲授每一章之前都能拿出半节课的时间简介这一段知识的整体框架，这看似“闲棋”的一着却能给后面的教学埋下很多伏笔，让学生在学习时有一种心理准备，但是受到客观的课时限制，这一介绍过程无法在课上完成。而有了微课这一工具，就可以对每一章进行一次综述的讲授，并且可以让学生当做预习在课下进行观看，不占用上课时间。

第二、对困难知识点给出直观解释。前面提到过，数学教学应以直观性为导向，事实上很多数学理论也确实有其直观的表述形式，例如把定积分想象为二维的纸累积成三维的书本，如把一致连续理解为一个细管，可以穿过曲线代表的铁丝；把矩阵的秩理解为它所携带的信息量。但是在课堂上讲授其抽象概念时，如果提出这些并不算十分严格的直观模型，可能会导致学生在捉摸不清其数学本质的时候更加迷茫，如果详加解释反而更加占用上课时间，因此这些内容也可以放在微课中，待学生课下复习消化知识的时候给出，让学生“顿悟”这些概念的深刻内涵。

第三、数学知识的具体应用。和直观性类似的，数学教学中同样应体现数学的应用性，但是数学应用同样是与时俱进的，不能仅仅局限于17世纪牛顿时代的那些实例。现代技术中的数学应用并不是一两句话可以说清的，因此在课上给出这些应用实例也会让课程内容成倍的增加而无法完成。这些内容同样可以放在课后复习的微课材料中，如在讲完矩阵特征值以后，就可以给出一个较小的Google矩阵带领学生实际操作一下，让学生理解特征值概念虽然源自于不变子空间，但事实上还有更多的用处。

第四、重难点题目的讲解。相信每一位老师都遭遇过批改作业时全班规模性的算错同一道题的情境，也经历过期末答疑时同一道题目被无数学生轮番提问的窘态。那么有了多年的教学经验后，教师对相应练习题的重点与难点题目应该十分清楚，那么完全可以化被动为主动，在微课中对其进行讲解，这样学生在课后练习时能够及时的弥补自己知识运使用上的漏洞，同样也可避免答疑时无意义的重复劳动。这是对学生的负责，同样也是教师对自己的一种“解放”。

第五、较有深度的问题的讨论。数学教学中有个重要环节就是讨论，讨论可以让学生自己构建解决问题的流程，并检查流程中的纰漏，是对所学知识的巩固和加强。但是如果在课上实施这一环节，有可能出现收不住的局面，导致占用课程时间过长，耽误正常的授课进度。因此这一环节同样可以留在课下，由老师借助微课平台给出一个“导火索”，引爆学生之间的讨论。如概率课程中著名的三门问题[2]和体检误诊问题[4]以及一些较难的题目都可以发布在微课平台上，当然，作为负责任的讲授者，应该在一段时间之后给出解答，切忌虎头蛇尾给学生留下疑惑。

4 高校数学基础课微课建设框架初探

高校理工类专业目前有3门数学基础课——高等数学、线性代数、概率论与数理统计。

以高等数学I为例，我校目前采用同济版教材[5]，共7章，针对每章内容的微课建设理念如表1。

而线性代数课程历来教学的难点在于内容抽象，学生在学习时感觉知识浮在半空中难以把握，事实上矩阵具有广泛的实际应用，例如空间图形的体积、希尔矩阵加密、差分方程、投入产出模型、网络流的稳定态等，如果能在讲授知识时配套的介绍这些应用，可以让学生的学习兴趣与学习目标变得清晰明朗。但线性代数仅有34学时，受客观条件所限，其具体应用无法在课上展开讲解，因此在线性代数的微课建设中应该着重于具体应用案例。

概率论与数理统计是3门数学课中与实际应用最为贴近的，也是在其他各学科中应用最为广泛的数学分支。统计学是处理大数据的基本工具，在实际科研工作中很多统计学软件已经被广泛应用，如SPSS，R语言等等，可以考虑结合课本知识制作一些这些统计软件应用的微课视频。

表1 高等数学I的微课建设理念

微课是传统课堂授课模式的良好补充，但它不能完全代替传统课堂，在基于微课的教学改革中，切忌以视频代替上课，在课堂上播放事先录好的视频，这样的视频无法在讲授过程中时刻观察学生的反应来调整讲授的速度和氛围，反倒隔绝了与学生的互动。另外，微课是一种多元化的新生事物，制作微课的软件很多，微课的形式也多种多样，但是对于数学这种传统学科，微课视频不宜过于花哨，诸如卡通形象或者与知识点关系不大的噱头尽量不要出现，这些内容只会分散注意力，使学生无法专注于数学知识的领悟。

5 结语

将微课技术应用于传统授课中，是顺应新时期高校数学教学改革发展主流趋势的一项教学技术革新。多元化的微课，是传统授课模式“供给侧”结构性改革的一大利器。高等教育要实现现代化，首先教育工作者就不能掉队，合理熟练地使用现代化的各种教学手段是对高校教师的基本要求，教师必须在教学科研工作中不断更新自己的知识系统和教学技能。在现代化的教学手段模式中，微课仅仅是一个开端，以微课为基础单元，以互联网系统为构建平台，可以进一步衍生出慕课、翻转教学、Hybrid Learning等各种现代化教学模式，当然这些工作不是一人之力一日之功可以完成的，必须要组建一支有技术素养、有创新能力、有合作、有分工的团队。如果运用得当，这些现代化教学模式必然可以与公安实战工作和实践教学有机的结合，给传统授课模式注入新的活力，切实提高教学效果与水平。

[1] 胡铁生. “微课”：区域教育信息资源发展的新趋势. [J]. 电化教育研究，2011(10): 61-65.

[2] 管涛. 直观性和应用性在数学教学中的作用. [J]. 中国公安大学学报(自然科学版)，2014(4): 91-95.

[3] 杨孝平许春根.加强直观性和应用性教学提高大学数学教育质量 [J]. 大学数学，2006(6): 5-7.

[4] 萧四无.一个与直觉相悖的概率问题引发的严肃思考[EB/OL].(2016-05-03)[2010-10-31]http:∥www.guokr.com/article/517/.

[5] 同济大学数学系. 高等数学(第七版) [M]. 北京: 高等教育出版社，2014.

(责任编辑 于瑞华)

管 涛(1981—)，男，河北石家庄人，硕士，讲师。研究方向为应用数学。

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