李学锋，王维峰

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

一类带干扰的复合Poisson-Geometric过程风险模型

李学锋，王维峰

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

研究了一类带干扰的双到达过程风险模型，其中保费收取为时间t的线性函数而两险种的索赔均为复合Poisson-Geometric过程. 利用鞅分析得到了该模型的破产概率的Lundberg不等式及其精确表达式；利用微分和It公式得到了生存概率的积分微分方程. 该模型所得到的结果可对保险公司和保险监管部门设置预警措施提供一定的理论指导，具有实际应用价值.

复合Poisson-Geometric过程；破产概率；鞅；Lundberg不等式；It公式

自从经典风险模型被提出以后，风险理论便逐渐形成并快速发展起来.目前，风险理论已经是精算界、数学界及保险业研究的热门课题. 该理论主要研究保险事务中各种随机风险模型的破产概率或生存概率.破产概率或生存概率是衡量保险公司风险状况的重要指标，是管理风险的重要工具.破产概率高意味着保险公司经营风险大，这时保险公司需要采取合理有效的措施降低风险并提高其承担风险的能力，确保保险公司能够长期稳定地发展下去.因此，为了更加符合保险公司的实际需要，许多学者从保费收入、索赔分布等不同的角度对经典风险模型进行了改进和推广，并用各种不同的方法计算或估算出破产概率或生存概率. 文献[1,2]分别考虑索赔服从相位(Phase-Type)分布和索赔分布用Erlang分布逼近的情况下的破产概率的表达式；文献[3,4]将鞅理论用于破产概率的研究，促进了破产理论的快速发展；文献[5]中，Dufresne和Gerber研究了带干扰的复合Poisson过程的风险模型；文献[6-8]研究了索赔相关过程的风险模型.

经典风险模型及其很多推广中，总是假设其索赔次数为齐次Poisson过程，而Poisson过程的一个重要性质是均值和方差相等，即风险事件发生与索赔事件发生是无差异的.事实上，这个假设过于理想化，在实际中往往得不到满足.例如在保险公司实行免赔额和无赔款折扣等制度后，一方面，保险公司要求只有当被保险人的损失超过某一金额时才给予赔付；另一方面，被保险人在事故发生时会权衡其利益得失而决定是否进行索赔，从而实际的索赔次数往往小于事故发生的次数.这种赔付制度在国外医疗中经常使用.近年来，我国保险公司在车险中也用到类似的无赔款折扣制度.文献[9,10]针对这一实际情况，引入了一类索赔过程为复合Poisson-Geometric过程的风险模型，并得到了关于破产概率的一些结论.

本文在上述工作的基础上，考虑在随机干扰的条件下，建立了一种保险可能引起两种索赔的风险模型.比如机动车保险，发生事故后的保险赔付可能有财产赔付(包括机动车和其它受损财产)，还可能有人身伤害的赔付(包括受伤者医疗费和死亡赔付).且两种索赔过程均为复合Poisson-Geometric过程.利用鞅分析得到了该模型的破产概率所满足的Lundberg不等式及最终破产概率的精确表达式，并利用微分和It公式得到生存概率的积分微分方程.

1 模型的建立

定义1 设随机变量X的分布函数为F(x)，则X的矩母函数为：

显然当r→∞时，有mi(r)→∞.

定义2 设(Ω,F,P)是完备的概率空间(本文所有的随机变量都定义在此空间)，则对u≥0,t≥0，保险公司在t时刻的盈余为：

(1)

其中u≥0为保险公司的初始准备金；c为保险公司单位时间内收到的保险费；{N1(t),t≥0}与{N2(t),t≥0}分别为两种索赔A和B的到达过程，即分别是保险公司在[0,t]内两种索赔A和B发生的次数；Xi为索赔A的第i次索赔额；Yj为索赔B的第j次索赔额；{W(t),t≥0}为标准Wiener过程，表示保险公司不确定性收益和付款，σ>0为扰动系数.

对上述模型做如下假设：

(1) N1(t)～PG(λ1t,ρ1), N2(t)～PG(λ2t,ρ2),λi>0,0≤ρi<1,i=1,2;

(2) {Xi,i=1,2,…}，{Yj,j=1,2,…}都为相互独立的随机变量序列，分布函数分别为FX(x)和FY(y),密度函数分别为fX(x)和fY(y)，并假设它们的一、二阶矩都存在,且E[Xi]=μ1,E[Yj]=μ2；

(3) {Xi,i=1,2,…}，{Yj,j=1,2,…},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{W(t),t≥0}相互独立.

即得：

由此定义相对安全负荷系数

(2)

定义3 保险公司的破产时刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}，最终破产概率为：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u},

则生存概率ψ(u)=1-φ(u).

2 相关引理

证明 (i) 根据强大数定律知：

引理2 对于盈余过程{S(t),t≥0}，存在函数g(r)，使得：

E[e-rS(t)]=etg(r).

(3)

证明 E[e-rS(t)]=

引理3 方程g(r)=0存在唯一正解R.

由(2)式知：

g″(r)=

(4)

引理5[11]破产时刻T是FS停时.

P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+o(t),

P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)o(t),k=1,2,…,

3 主要结果

定理1 风险模型(1)的最终破产概率φ(u)满足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u，

证明 由引理5知T是FS停时，取t0<∞，则易知T∧t0是FS停时，利用有界停时定理知：

e-ru=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=

E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(5)

又当T<∞时，有u+S(T)≤0,所以e-r[u+S(T)]≥1，故：

定理2 风险模型(1)的最终破产概率为：

(6)

其中R为调节系数.

证明 根据(5)式，取r=R,得：

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0).

(7)

以I(A)表示集合A的示性函数，则：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=

E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且根据强大数定律可知，当t0→∞,U(t0)→∞,a.s..

由控制收敛定理可知：

于是在(7)式两端令t0→∞即得(6)式.

定理3 假设生存概率ψ(u)二次连续可微，则对任意u≥0，ψ(u)满足积分微分方程：

(8)

且满足边界条件：

(9)

证明 令：

H(t)=u+ct+σW(t),

(10)

在充分小的时间段(0,t]内，考虑(1)式所定义的风险过程U(t)，由于N1(t)和N2(t)都是Poisson-Geometric过程，由全概率公式及文献[9]有：

(λ1+λ2)tE[ψ(H(t))]=E[ψ(H(t))]-

(11)

dH(t)=cdt+σdW(t),

σψ′(H(t))dW(t),

即ψ(H(t))=ψ(u)+

所以：

E[ψ(H(t))]=ψ(u)+

(12)

(11)式两边同时除以t，并令t→0，同时利用(12)式得：

故(8)式成立.

在(8)式中令u→0并由引理1即得(9)式.

4 结束语

本文提出的一类带干扰的且索赔为复合Poisson-Geometric过程的双险种风险模型，不仅保留了Poisson过程的很多良好性质，而且很好地解决了Poisson过程中事故发生次数与索赔发生次数相等的问题，该过程与保险公司的实际赔付政策(免赔额制度和无赔款折扣制度)密切相关，从而更好地刻画了保险公司实际的风险过程，有更具体的应用背景，因此具有很强的实际意义.本文所得到的关于破产概率和生存概率的结论对保险公司的自身设置预警措施有一定的理论指导意义，故该模型有应用价值，同时也能为保险监管部门设置相应的监管指标系统提供理论依据. 从最终破产概率的表达式可以看出，为确保保险公司的稳定经营，一方面，保险公司必须具备足够的初始准备金；另一方面，公司也不能一味为了提高市场份额而盲目降低保费或高额承保. 因此，保险公司为减小风险，提高承担风险的能力，必须在获得尽可能多的保单的同时，做好统计调查，以便厘定合理的保费、免赔额、无赔款折扣及赔付额度. 同时，保险公司还不能忽视一些随机干扰对公司稳定经营的影响，往往这些因素也直接关系到保险公司的生死存亡. 当然，随着保险公司的日益多元化经营，在实际经营运作中会面临更多的影响破产概率的因素，本文所建模型乃至现有的所有风险模型都还有待进一步改进，而且本文的思路和计算方法还为以后的研究提供了有益的思路.

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A Kind of Compound Poisson-Geometric Process Risk Model with Disturbance

Li Xuefeng，Wang Weifeng

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we considered a kind of double arrival process risk model with disturbance. In the model, the premium income is a linear function of timetand the two arrivals of the claims follow compound Poisson-Geometric processes. Using martingale analysis, we obtained the Lundberg inequality and the accurate expression of ruin probability；using differential calculus andItformula, we obtained the integro-differential equation for survival probability. The results of the model in this paper can provide some theoretical guidance and have practical application values for the insurance companies and insurance regulatory authorities when they set up early warning measures.

compound Poisson-Geometric process；ruin probability; martingale；Lundberg inequality；Itformula

2016-07-29

李学锋(1979-)，女，讲师，研究方向：金融数学，E-mail: lxf@mail.scuec.edu.cn

国家自然科学基金专项基金项目数学天元基金(11526195)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(CZQ14022)

O211；F840

A

1672-4321(2016)04-0132-05