康东升，龚睫茜，段 笑

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

两类奇异临界椭圆方程组解的存在性

康东升，龚睫茜，段 笑

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

研究了两类非线性奇异临界椭圆方程组，运用Schwartz对称化方法、集中紧性原理和山路引理，证明了全空间中的一类齐次临界椭圆方程组基态解的存在性和有界区域上的一类带有线性扰动项的临界椭圆方程组正解的存在性．

奇异临界椭圆方程组；解的存在性；集中紧性原理；山路引理

1 研究内容及结果

本文研究如下两类带有不同Hardy项和多重临界项的非线性奇异临界椭圆方程组：

(1)

(2)

其中D1,2(N)D表示(N)关于范数的完备化空间，(Ω)H表示空间(Ω)关于范数的完备化空间，Ω⊂N是包含原点的有界光滑区域，方程组中的参数满足以下假设：

在乘积空间D2D×D中，方程组(1)的泛函定义为：

I(u,v)x.

在乘积空间H2H×H中，方程组(2)对应的能量泛函为：

于是J∈C1(H2,)．类似地，可以在空间H2与其对偶空间(H2)-1之间定义对偶积．

方程组(1)和(2)与Sobolev-Hardy不等式密切相关[1]：

当s=2时，上式就变为著名的Hardy不等式[2]：

Λ1(μ),

并且还可以定义下面的最佳常数：

(3)

A(μ1,μ2)

Vμ,ε(x),

∀ε>0,

(5)

(6)

在假设(H1)和τ≥0条件下，先给出如下符号定义：

(7)

(8)

c*

c**,

本文的主要结果归纳为下面5个定理．

定理1 假设(H1)成立，且1

定理2 假设(H1)成立，且2≤q≤2*(s)，则c*=c**，最佳常数A(μ1,μ2)存在达到函数对{C(Vμ1,ε,0)}或{C(0,Vμ2,ε)}，ε>0,C>0，此时方程组(1)有半平凡基态解：

2 预备引理

引理1 假设条件(H1)成立．则最佳常数A(μ1,μ2)有一个非负径向对称的达到函数对(u,v)∈D2{(0,0)}，它也是方程组(1)的一个非负基态解，满足I(u,v)=c*≤c**．进一步地，当c*

证明 证明过程与文献[5]中引理2.1类似，这里略去．

引理2[6]假设(H1)成立．

(1) 当1

(2) 当2≤q≤2*(s)时，有：

引理3 假设(H1)成立,则对任意c

证明 证明与文献[7]中引理2.1类似，这里略去详细过程．

引理5 在定理4的假设条件下，当ε→0+时下列渐近估计成立：

(9)

于是由(3)和(9)式就有：

(10)

(2) 由(9)式和引理4有：

证明 因为(H2)成立，二次型L(u,v)a1u2+2a2uv+a3v2是正定的，并且满足m1(u2+v2)≤L(u,v)≤m2(u2+v2),∀(u,v)∈H×H.

另一方面，

(11)

(12)

综合(11)、(12)式、引理4和引理5可得：

O1(∫Ω|uμ1,ε|2)

3 主要结果的证明

定理1的证明 将(Vμ1,ε,τVμ2,ε),τ≥0带入(4)式，再由(3)和(4)式有：

A(μ1,μ2).

(13)

考虑如下定义在[0,∞)上的函数：

因为当τ→+∞时k(τ)>0，故存在τ1∈(0,∞)使得在[τ1,∞)上k(τ)>0．此外对于任意τ2∈[τ1,∞)，在[0,τ2]上∫NF(Vμ1,ε,τVμ2,ε)/|x|s和k(τ)一致收敛．于是，有：

τ∈[0,τ2].

(14)

由(13)和(14)式有：

(15)

这表明c*

定理2的证明 分别用(Vμ1,ε,0)和(Vμ2,ε,0)来检验(4)式，由(3)～(5)式就有：

(16)

(17)

由(3)、(7)、(17)式和Minkowski不等式可知：

∫N(|u|2+|

gmin.

(18)

对于任意u,v∈D{0}，由(3)，(4)式和引理2有：

当1

A(μ1,μ2)≥gmin.

(21)

如果2≤q≤2*(s)，由(15)、(21)式和引理2有：

对任意(u,v)∈H2{(0,0)}，由Hardy不等式和Sobolev-Hardy不等式有：

且存在一个常数ρ→0+，使得b(0,0)．由于当t→+∞时，J(tu,tv)→-∞所以存在t0>0使得‖(t0u,t0v)‖H2>ρ且J(t0u,t0v)<0．由山路引理[9,10]可知，存在序列{(un,vn)}⊂H2，使得当n→∞时，J(un,vn)→c,J′(un,vn)→0．

由引理3知在序列{(un,vn)}中存在子序列(仍记为{(un,vn)})，使得在H2中(un,vn)→(u,v)．因此J存在一个临界点(u,v)满足方程组(2)，并且c就是对应的临界值．设u+=max{u,0}，v+=max{v,0}分别用u+,v+来替换方程组(2)中等式右边的u,v，并且重复上述过程，可以得到方程组(2)的一个非负解(u,v)．此外，在假设条件(H2)中的ai≠0表明u,v≠0．由最大值原理[11]可以推出在Ω{0}中u,v>0．定理4证毕．

定理5的证明 定理5的证明与定理4非常类似，这里略去详细过程．

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Existence of Solutions for Two Singular Critical Elliptic Systems

Kang Dongsheng, Gong Jiexi, Duan Xiao

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, two classes of nonlinear singular critical elliptic systems were studied. The Schwartz symmetrization, the concentration compactness principle and the Mountain Pass lemma were used to prove the existence of ground state solutions to a homogeneous critical elliptic system in the whole space and the existence of positive solutions to a critical elliptic system with linear perturbations in bounded domain.

singular critical elliptic system; existence of solution; concentration compactness principle; Mountain Pass lemma

2016-09-28

康东升(1967-)，男，教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail: dongshengkang@scuec.edu.cn

国家自然科学基金资助项目(11601530)

O175. 25

A

1672-4321(2016)04-0126-06