段 汕，王小凡，张 洪

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

图像相似性度量方法的研究

段 汕，王小凡，张 洪

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

在Vizilter图像比较方法研究工作的基础上，针对比较图像由于获取条件不同所产生的信息不确定性问题，通过引入图像的标准比较空间，对图像相似性度量问题进行了研究.提出了基于距离测度、相关系数及复合投影的图像相似性度量方法.基于图像标准比较空间的相似性度量工作不仅对Vizilter的研究成果进行了推广，同时也给出了一些新的研究思路和方法.

图像比较；相似性度量；投影算子；欧式距离；相关系数

在图像分类、目标识别和模板匹配等图像处理和图像分析问题[1-8]中，通常需要比较两幅图像的相似性或差异性.图像表述和特征选取是影响图像相似性度量的两个重要因素，在Vizilter的研究工作[2]中，图像被视为一个分片常值函数(亦称Mosaic图像).Mosaic图像由图像空间域的一组几何基元和基元对应的强度值表示，该图像模型是一种强度-几何模型[3].文献[2]通过图像强度和几何特征的相似性测度来估计图像的相似性.

文献[2]主要研究基于两幅图像的比较方法，并将各自图像所产生的图像空间作为投影空间，通过各类相关系数的建立，对图像的几何及强度分布进行量化.分片常值函数的图像表示方法，与图像的获取条件密切相关.由不同条件导致的图像的不确定性使得量化指标会产生较大的误差.本文针对此问题，假定在理想条件下，能够根据先验信息获得与研究对象具有相同场景、真实反应研究对象的几何及强度特征的标准图像.标准图像所产生的图像的标准比较空间的几何结构和强度特征作为实现图像比较的参照标准，通过投影算子[4,5](或滤波)、距离测度等方法提取目标图像的基于比较空间的相似数据指标，以此实现目标图像与标准空间及多个目标图像间的相似性度量.本文的工作不仅对Vizilter的研究成果进行了推广，同时提出了一些新的研究思路和方法.

1 图像标准比较空间

在文献[2]图像比较研究工作中，图像被视为一个分片常值函数，具有如下的形式：

(1)

ωk(x,y)=χWk(x,y)/‖χWk‖,k=1,2,…,p.

(2)

称为图像w(x,y)的形状空间，其中任一图像w可由向量(w1,w2,…,wp)T∈Rp加以描述．

利用dE(w,f)=‖w-f‖可以确定同一空间中两幅图像强度的差异．但即使在线性变换下，都会导致其距离的较大变化.为了保证线性变换下的不变性，往往以正则化的线性相关系数K(w,f)=(w,f)/(‖w‖‖f‖)作为比较指标. 为实现两幅图像f,g相似度的比较，不同于文献[2]，我们以标准图像w所产生的图像形状空间W作为标准比较空间，讨论图像间的相似性度量问题. 为此，我们仍然以投影算子的方法作为主要工具展开研究.

基于W的结构(2)，图像f(x,y)∈L2(Ω)在形状空间W上的投影具有如下形式：

(3)

其中投影系数fWk=(f,ωk),k=1,2,…,p．

2 基于距离的图像相似性度量方法

距离测度法是相似性度量常用的方法. Mosaic图像由几何基元和其对应的强度值表示，即图像表示中同时反映了其几何(或形状)特征和强度特征. 利用图像f和g在标准比较空间W下的投影PWf和PWg之间的距离可实现图像f和g的相似性的比较.

2.1 基于欧式距离的图像相似性度量

给定空间域Ω上形如(1)和(2)式的图像f(x,y),g(x,y)∈L2(Ω)：

(4)

由(3)式可知，图像f和g在标准比较空间W上的投影分别是：

(5)

其中fW=(fW1,fW2,…,fWp)T,fWk=(f,ωk);gW=(gW1,gW2,…,gWp)T,gWk=(g,ωk).

此时，图像f和g相对标准比较空间W的相似性度量问题就转化为空间W中的p维向量PWf和PWg的相似性度量问题. 一般对线性空间中的向量，可使用各种距离来度量其相似性或差异性.在欧式距离下，图像f和g在标准比较空间W下的距离定义为：

dW(f,g)=‖PWf-PWg‖=‖fW-gW‖=

易知f=g⟺dW(f,g)=0，且dF(f,g)=‖f-gF‖,dF∧G(f,g)=‖fF∧G-gF∧G‖=‖f-g‖=dE(f,g).

2.2 基于Hausdorff距离的图像形状相似性度量

由(4)、(5)式知，对∀f∈F,g∈G都有向量fW,gW∈W与之对应，由此可知形状F和G在线性空间W上的投影：

FW和GW是线性空间W中的子集，FW和GW的Hausdorff距离[6]定义为：

相对于比较空间W，形状F和G的相似程度可以由dW(F,G)=dH(FW,GW)加以描述.

3 基于相关系数的图像相似性度量方法

3.1 基于标准比较空间的线性相关系数

考虑图像f(x,y),g(x,y)∈L2(Ω)及其在标准比较空间W上的投影fW,gW∈W. 向量fW,gW之间的夹角(fW∧gW)及内积(fW,gW)可以刻划图像f和g相对于标准比较空间W的相似程度.特别地，如果cos(fW∧gW)=0，则说明图像f和g是正交的，亦即图像f和g关于W是相互独立的. 由此，我们可以引入相对于标准比较空间W的图像f和g的线性相关系数：

(6)

对于图像f和g由(4)式知：

结合(4)、(5)式有：

于是

(7)

进一步地，KN(f,g,W)还可以分解成如下形式：

KM(f,W)KM(g,W)K(fW,gW).

(8)

其中KM(f,W)=‖fW‖/‖f‖是文献[2]定义的形态相关系数.KN(f,g,W)在几何意义上表征为3个余弦cos(f∧fW),cos(g∧gW)和cos(fW∧gW)之乘积，且(7)式给出了KN(f,g,W)的相关算法.

特别地，在W的特定选取方式下，KN(f,g,W)具有如下形式：

3.2 基于标准比较空间的形状相关系数

利用图像f∈F和g∈G的单位形状特征向量u=(u1,u2,…,un)T及v=(v1，v2,…,vm)T将图像f和g进行归一化，得：

其中γ=MTα=(αTM1,αTM2,…,αTMm)T,D=γγT=(dij)m×m,dij=(αTMi)(αTMj).

Mj(j=1,2,…，m)是矩阵M的列向量.

最终，相对标准比较空间W图像线性相关系数最小值问题等价于如下带约束条件的最优化问题：

(9)

应用拉格朗日乘数法[8]可以完成对上述问题的求解. 首先，考虑问题：

(10)

其对应的拉格朗日函数:

L(β,λ)=βTDβ+λ(1-βTβ).

将上式关于β进行矩阵微分，并令其为零，得到2Dβ-2λβ=0,即Dβ=λβ.

可见，当问题(10)取得最小值时，λ是D的特征值，β是特征值λ对应的特征向量. 由于矩阵D是半正定的对称矩阵，故其特征值λ是非负实数.记λFmin和βmin分别是矩阵D的最小特征值和其对应的特征向量，则有：

因此：

以此为基础，给出相对标准比较空间W形状F和G的形态相关系数：

4 基于复合投影的图像形状相似性度量

结合(4)、(5)式及单位形状特征向量u及v，有：

f(x,y)=uTf,g(x,y)=vTg;

由此可以得出复合投影算子PFPG具有的形式和特征：

PGPFg=PG(PFg)=vTCT(Cg)，

PGPFg*=VTCTCβ=λFVTβ=λFg*.

这说明CTC的特征值λF亦是复合投影算子PGPF的特征值. 因此，基于3.2中形状相关系数的研究工作，利用复合投影PWPGf和PWPFg特征值方法进一步讨论相对标准比较空间W图像形状F和G的相似性度量问题.

给定图像f∈F和g∈G,考虑复合投影算子PWPG的特征值λGW(0≤λGW≤1)问题：

PWPGf=λGWf.

(11)

由方程(11)可得：

其中PWPGf=fGW.特征值λGW在几何意义上表征余弦cos(fGW∧fG)和cos(fG∧f)的乘积，故特征值minλGW可以作为基于比较空间W图像形状F和G相似性的度量指标.

由(3)式知：

将上式代入方程(11)，得：

fTCBω=λGWfTu.

又(fTCBωuT)T=(fTCBAT)T=(λGWfTuuT)T=(λGWfT)T,即MCTf=ABTCTf=λGWf.所以，λGW是矩阵MCT的特征值，f是其对应的特征向量.类似地，对于复合投影PWPFg有MTCg=λFWg,即λFW是矩阵MTC的特征值.

4 结束语

本文在Vizilter研究工作的基础上，通过引入标准比较空间，用基于距离测度、相关系数和复合投影算子的方法讨论了图像相似性的度量，并得到了相应的度量指标.相似性度量可以应用于图像分类、目标检测及模板匹配等，本文仅在理论上对图像相似性度量进行了研究.后续工作，将在此基础上进一步研究相似性度量在图像处理和分析中的应用.

[1] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Projective morphologies and their application in structural analysis of digital images[J]. J Comput Syst Sci Int, 2008, 47: 944-958.

[2] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Similarity measure and comparison metrics for image shapes[J]. J Comput Syst Sci Int, 2014, 4: 542-555.

[3] Vizilter Y V, Zheltov S Y. Geometrical correlation and matching of 2D images shapes[J]. ISPRS Ann Photogramm Remote Sens Spatial Inf Sci, 2012, 1-3: 191-196.

[4] Evsegneev S O, Pyt′ev Y P. Analysis and recognition of piecewise constant texture images[J]. Pattern Recogn Image Anal, 2006, 16: 398-405.

[5] Pyt′ev Y P. Morphological image analysis[J].Pattern Recogn Image Anal, 1933, 3: 19-28.

[6] Burago D Y, Burago Y D, Ivanov S V. A course in metric geometry[M]. Rhode Island: American Mathematical Society, 2001: 17-20.

[7] 孙即祥. 现代模式识别[M]. 长沙: 国防科技大学出版社, 2002: 19-22.

[8] 徐 仲, 张凯院, 陆 全, 等. 矩阵论简明教程[M]. 北京: 科学出版社, 2001: 85-87.

Research on Method of Similarity Measure for Images

Duan Shan, Wang Xiaofan, Zhang Hong

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

Due to the information of images obtained in different conditions is uncertain, the standard comparison space of image is introduced to solve the problem of image similarity measurement, based on the work of Vizilter in image comparison method. Three methods are used to discuss the image similarity measure, which are based on distance measurement, correlation coefficient and composite projection. The work of image similarity measure related to image standard comparison space not only promote the results of Vilziter, but also put forward some new ideas and methods.

image comparison; similarity measure; projection operator; Euclidean distance; correlation coefficient

2016-09-02

段 汕(1962-)，女，教授，博士，研究方向：数学应用方法与图像处理，E-mail: duanshan@mail.scuec.edu.cn

国家自然科学基金资助项目(61374085；11301552)

O143

A

1672-4321(2016)04-0121-05