潘林峰，邱学军

(中南民族大学 电子信息工程学院,武汉,430074)

α-T3模型中的Klein 隧穿和电导

潘林峰，邱学军

(中南民族大学 电子信息工程学院,武汉,430074)

指出了α-T3模型是近年来出现的二维材料模型, 其中用参数α来描述六边形中央的格点与蜂巢晶格上格点的耦合强度.利用紧束缚近似导出了α-T3模型低能哈密顿量,计算了粒子通过电势垒的透射概率的表达式,采用图解法分析了透射概率及电荷输运电导在各种条件下的规律.

α-T3模型; 势垒隧穿;输运电导

关于蜂巢晶格和T3晶格中粒子的势垒隧穿已经有较多的研究[10-13],而在α-T3模型中这个问题还未出现,为此,本文研究α-T3模型中粒子通过势垒的行为以及电荷输运电导.

1 α-T3模型

α-T3晶格中每个单胞包含3个格点.图1中子格A(方块)只与子格B(圆)耦合,跃迁振幅用t表示,子格C(三角)只与B耦合,跃迁参数为αt. 因此B子格的配位数为6,A和C子格的配位数为3. 连接耦合参数为t的格点的矢量关系如下:

(1)

这里a是两相邻格点的距离.三角布拉伐格子由下面的基矢生成:

(2)

它定义菱形原胞.子格B的位置格矢为RH,n=n1a1+n2a2(n1和n2为正整数).子格A相对子格B位移δl, 而子格C相对子格B位移-δl,则有:

RA,n=RB,n+δl,RC,n=RB,n-δl.

(3)

图1 α-T3晶格模型Fig.1 α-T3lattice model

下面用紧束缚近似讨论粒子的能量.设原子轨道波函数用φm(r) 表示,α-T3晶格每个单胞中有3个不同的子格原子,则m取A,B,C. 晶格中对给定位置r和波矢κ的布洛赫态Φm(κ,r)可以写为:

(4)

这里N是晶格中的单胞数,Rm,n是第n个单胞的第m个轨道的位置矢量.粒子波函数Ψ(κ,r)可表示为3个布洛赫态的线性叠加:

(5)

展开系数cm(κ)是准动量κ的复函数,其中m= A,B,C.这里能量E(κ) =<Ψ|H(κ, r)|Ψ>/<Ψ|Ψ>, 其中H(κ, r)是系统的哈密顿量.下面解粒子波函数的本征值方程:

H(κ,r)Ψ(κ,r)=E(κ)Ψ(κ,r),

(6)

用Ψ*左乘上式Ψ*HΨ =Ψ*EΨ,并把方程(5)中Ψ写为矩阵,则有:

其中转移积分矩阵H(κ)和交叠积分矩阵S(κ)都为3×3矩阵,矩阵元定义为:

(7)

为得到粒子能量E(κ),需要解下面的久期方程:

det[H-EλS]=0.

(8)

其中det表示矩阵行列式.

先计算矩阵H的对角元HAA=<ΦA|H|ΦA>, 它主要来自给定轨道与自己的相互作用,利用方程(4)写为:

(9)

令εA=<φA(r-RA,n)|H|φA(r-RA,n)>表示粒子在子格A的格点能,它在每个单胞中都有相同的值,则HAA=εA, 类似地对子格B和C有HBB=εB和HCC=εC. 我们取εA=εC=Δ和εB=-Δ.

用类似的方法计算交叠矩阵的对角元.由于原子轨道与自已完全交叠,或者说原子波函数的归一化,则Smm=<φm(r-Rm,n)|φm(r-Rm,n)>=1, 因此S矩阵的对角元都为1.

矩阵H的非对角元描述不同子格原子轨道波函数的耦合.先考虑B子格和A子格的耦合,在图1中用实线表示,这里B与最邻近的3个A子格耦合,则有:

(10)

这里δl(l = 1, 2, 3)是B的3个最近邻A相对B的位置矢量,方程(1)对每个B 格点的3个近邻A格点在求和时完全相同,我们引入耦合积分振幅t:

t=-<φA(r-RA,n)|H|φB(r-RB,n)>,

(11)

它是正数.那么矩阵元可写为:

(12)

(13)

耦合积分振幅为αt:

αt=-<φC(r-RC,n)|H|φB(r-RB,n)>,

(14)

那么:

(15)

(16)

这里:

s0=<φA(r-RA,n)|φB(r-RB,n)>=<φC(r- RC,n)|φB(r-RB,n)>,

那么交叠矩阵的非对角元为:

(17)

集合所有矩阵元,则T3晶格的积分矩阵H和S 可写为:

(18)

(19)

研究粒子的能量时,可以忽略格点能εA=εB=εC=ε0= 0, 因为它对能带结构无任何影响.由于原子波函数交叠s0≪1,故由方程(8)可得到下列关系:

(20)

则解为:

(21)

为了描述低能激发,我们限制波矢在布里渊区角上K点附近,这里:

(22)

引入波矢κ=ξK+k,其中|k|≪|K|, 这里ξ=±1分别对应K点或者K′点.展开f(κ) 到k的一阶项,则有:

(23)

那么由方程(18)得低能哈密顿量为:

H(k)=

(24)

当α=0时,0-T3模型对应石墨烯,哈密顿量为H=ħνF(ξkxσx+kyσx),这里σx,σy是自旋为1/2的泡利矩阵[3].当α=1时,1-T3对应dice晶格,哈密顿量为H=hνF(ξkxSx+kySx),这里Sx, Sy是自旋为1的矩阵[4]. 因此T3晶格中的载流子是赝自旋为1的无质量Dirac费米子. 它的低能能量色散存在一个平坦能带E0(k) =0和两个线性色散能带E±(k).

当α≠0, 1时,令α = tan φ,则有:

(25)

E0(k)=0,E±(k)=±ħνF|k|.

(26)

2 电势垒的Klein隧穿

存在电势时，α-T3晶格中准粒子在给定K点的哈密顿量为:

H=H0+U(x),

(27)

这里H0为方程(25),波矢(kx,ky)=-iħ(∂x,∂y).这里已经假定势函数U(x)与y分量无关，则y方向波矢ky为常数.哈密顿量(27)的本征方程的波函数能写为三分量旋量形式ψ(x,y)=[ψA(x),ψB(x),ψC(x)]Teikyy,这里T表示矩阵转置.因此本征值方程为:

(28)

把kx=-i∂x,ky=-i∂y代入方程(28)中,并令ε=E/νFħ,u(x)=U(x)/νFħ, 我们得到关于变量x的耦合方程组:

(29)

从方程(29)可得到关于ψB满足的二阶微分方程:

(30)

则方程(30)的通解为:

ψB(x)=sCeiqx-sDe-iq,

(31)

其中s = sgn(ε-u),C和D为积分常数.把方程(34)代入到方程(29)的第一式,得到关于ψA的方程:

ψA(x)=Ce-iξθcosφeiqxx-Deiξθsinφe-iqxx,

(32)

其中相位因子为:

(33)

因此相位角θ = arctan(ky/qx). 同理，由方程(29)的第三式可得到关于ψC的通解:

ψC(x)=Ceiqxx+iξθsinφ-De-iqxx-iξθsinφ.

(34)

因此有势垒时α-T3晶格的三旋量波函数的通解为:

(35)

上式第一项为右行波,第二项为左行波.无电势区域,s =sgn(ε),qx= kx. 对导带ε> 0, s = 1,对价带ε< 0, s =-1,对平坦能带ε = 0, s = 0,因此右行波波函数为:

(36)

现在考虑粒子通过方势垒时的反射和透射.在y方向均匀而x方向的方势垒可表达为:

(37)

势函数如图2所示.考虑能量为E=ħνFk的准粒子以角度入射到高为U0宽为d的方势垒上,这里要求满足弹道输运条件.引入与波矢量纲相同的能量ε=E/ħνF和u0=U0/ħνF.

图2 方势垒示意图Fig.2 Schematic diagram of square barrier

无势垒区域x<0,粒子在导带s=sgn(ε)=1,则入射和反射波函数为:

(38)

(39)

在x>d区域s=1,且只有右行波:

(40)

其中t为透射系数.

考虑概率流守恒可得波函数在界面匹配条件,即波函数ψB和ψA+ψC在界面连续.因此利用波函数在x=0和x =d连续可求得透射系数:

t=[2ei(θ+φ-dkx+dqx)(1+e2iθ)(1+e2iφ)(cosφ+sinφ)2]/{2ei(θ+φ)(A2+B2)+sin2φ[A2(1+e2i(θ+φ))-B2(e2iθ+e2iθ)]},

(41)

这里A=eiqxd(eiθ+eiφ),B=1-ei(θ+φ).由于透射概率T=tt*,对蜂巢晶格取α=0 ，φ=0，透射概率为:

T0=

(42)

对dice晶格,取α = 1,φ=π/4, 透射概率为:

(43)

与文献[11]结果相同.

3 结果与讨论

3.1 透射概率

由公式(41)得到透射概率T=tt*，下面用图解法进行讨论.在讨论中,取以波矢为单位的入射能量ε为数值计算的单位,则势垒宽度d为无量纲数值.图3表示透射概率与参数α及入射角关系等高线图，其中d =7.0，ε/u0=0.4.图中横坐标和纵坐标分别对应入射角φ和φ,曲线上的数字显示透射概率数值.可以看到:

(1) α-T3模型存在较宽的全透射区,当φ从0变化到π/4即α从0变化到1时,全透射区域明显增大.

(2) 在入射角一定的情形下，随着α增大，透射概率增大.

(3) 正入射时透射概率恒等于1而与势垒高度和宽度无关.

图3 透射概率与入射角φ及α的关系图Fig.3 (α, φ) contour plots of the transmission probability

图4表示透射概率T与入射角及势垒宽度d关系，其中ε/u0=0.1，左图α=0，右图α=1.图中可以看到在α 的变化对透射概率有明显的影响，而势垒宽度d的变化导致透射概率成周期性变化.在ε/u0=0.1条件下，d等于3.51的整数倍时，出现全透射，此时透射概率与入射角无关.

图4 透射概率与入射角φ及势垒宽度d的的关系图Fig.4 (d, φ) contour plots of the transmission probability

图5表示透射概率T与入射角φ及入射能量ε/u0的关系，其中d=6，左图φ=0，右图φ=π/4.图中可以看到: α-T3模型在能量为ε/u0=0.35和ε/u0=0.5时出现全透射,与其它条件无关;能量ε/u0小于0.5和大于0.5的区域呈明显的不对称性; α的变化导致透射区域的大小发生变化,而形状则基本不变.

图5 透射概率与入射角φ及入射能量ε/u0的关系图Fig.5 (ε/u0,φ) contour plots of the transmission probability

图6表示透射概率T与入射角关系的极坐标图，其中d=50,左图(ε/u0=0.1，实线φ=0，虚线φ=π/4)，右图(ε/u0=0.4，实线φ=0，虚线φ=π/4).左图中可以看到在ε/u0=0.1时，小角度条件下全透射,φ取0和π/4时,全透射区域有明显差的差异;而右图中可以看到在ε/u0=0.4时全透射区域较小，出现振荡透射区域,这对应法布里-珀罗共振隧穿.

图6 透射概率与入射角关系图Fig.6 Relationship between transmission probability and incidence angle

3.2 输运电导

我们选取宽为W(y轴方向)的无限长样品分析其输运电导,用零温度下的Landauer-Büttiker公式计算[14,15]:

(44)

上式中G0=4e2kW/πh(e是电子电量的绝对值,k表示波矢).

下面图7和图8讨论电导的规律.图7表示电导在不同的α情形下与入射能量的关系。其中d=6,粗实线、细实线、点划线、虚线依次对应α=0，α=tan(π/12)，α=tan(π/8)， α=tan(π/4)。由图可见在ε/u0=0.5时，电导最大，并且与晶体种类无关，当ε/u0<0.5时，电导随α的增大而增大，当ε/u0>0.5时,电导则随能量的增大而减小且受α影响较小.

图7 电导与入射能量关系图Fig.7 Relationship between conductance and incident energy

图8表示电导在不同的α情形下与势垒宽度d的关系。其中ε/u0=0.2,粗实线、细实线、点划线、虚线依次对应α=0，α=tan(π/12)，α=tan(π/8)， α=tan(π/4)。由图可见在ε/u0=0.2时，电导随α的增大而增大，而与透射概率问题类似的是，电导同样随势垒宽度d作周期性变化,d的周期为3.51.

图8 电导与势垒宽度关系图Fig.8 Relationship between conductivity and potential barrier width

4 结语

本文研究α-T3模型中粒子通过势垒的行为以及电荷输运电导. α-T3模型是一种联系蜂巢晶格和T3晶格的二维材料,在α = 0和1的极限下,它分别对应蜂巢晶格和T3模型.通过图解得出以下结论:在仅改变α情况下透射概率和电导随α有规律地变化,并且图形具有相似性;粒子入射能量大于和小于0.5时有完全不同的透射规律; 仅有势垒宽度d的变化则会导致透射概率和电导规律呈现周期性.

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Klein Tunneling and Conductance in α-T3Model

Pan Lingfeng, Qiu Xuejun

(College of Electronic and Information Engineering, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

This paper pointed out that theα-T3model is a two-dimensional material model emerging in recent years,thereinto, the coupling strength between the lattice points of the hexagonal lattice and lattice points of the honeycomb lattice is described by the parameterα.By using the tight binding approximation, the low-energy Hamiltonian ofα-T3model is derived, and the expression of the transmission probability of a particle passing through the electric barrier is calculated,and the regularity of the transmission probability and charge transport under various conditions are analyzed graphically.

α-T3model; barrier tunneling; transport conductance

2016-10-04

潘林峰(1972-)，男，副教授，研究方向：量子力学，E-mail: pzhx_x@mail.scuec.edu.cn

国家自然科学基金资助项目(11404411)

O413.1

A

1672-4321(2016)04-0064-06