新疆巴州库尔勒市第四中学　　郭建花

分类虽好规避为妙

新疆巴州库尔勒市第四中学郭建花

在中学教学解题中，通过借助函数性质，数形结合，反面考虑和运用变换主元法等策略可以避免分类讨论，提高解题效率.

分类讨论数学函数

分类讨论思想是中学数学的一种重要数学思想方法和解题策略，在数学研究和数学学习中具有重要的应用价值是毋庸置疑的.但在解题时我们还要有求简意识，不能一味地一见参数就讨论，若能认真地挖掘一下题目内在的特殊性，灵活地运用解题策略和方法，有时可简化或避免分类讨论，使解题过程简捷且降低了问题难度，提高了解题的效率和质量.下面举例说明避免分类讨论的几种优化策略.

一、借助函数性质，避免分类讨论

巧用函数的性质，有时可以避免讨论。

例1设定义在[-2，2]上的偶函数在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）〈f（m），求实数m的取值范围.

解析由函数的定义域知（1-m）∈[-2，2]，m∈[-2，2]，但是1-m与m到底是在［-2，2］的哪个区域内，不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么f（-x）=f（x）=f，问题解答就简洁多了.

∵f（x）是偶函数，

二、数形结合，避免讨论

利用函数图像、几何图形的直观性和对称特点有时可简化甚至避开讨论.

解析解含有绝对值符号不等式的常规解法是零点分段法.若能数形结合，发散思维，则可有效地规避分类讨论.

三、反面考虑，简化讨论

有些问题如果能够从反面考虑，利用补集思想，就可避免分类讨论.

例3如果二次函数y=mx2+(m-3)x +1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，试求m的取值范围.

解析若从正面求解，需要分四种情况讨论，运算量很大.此时若从反面考虑，即考虑交点都在原点左侧时m的取值范围，则由一元二次方程mx2+(m-3)x+1=0有两负根得：

解得m≥9，其反面为m〈9.

再考虑△≥0与m≠0的条件，可得m≤1且m≠0.

例4某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有多少种（用数字作答）？

解析如果直接解分三类：

四、运用变换主元法，避免分类讨论

解析函数式变形为：

由已知得y－m≠0，

即：y2－(m+n)y+(mn-12)≤0，①

不等式①的解集为[-1，7]，则－1、7是方程y2－(m+n)y+(mn－12)＝0的两根，代入两根得：

此题也可由解集[-1，7]而设(y+1)· (y-7)≤0，即y2－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数得

，解出m、n而求得函数式y.

解析若根据二次不等式恒成立的条件列式计算，不可避免地要进行分类讨论。如果变换视角，把a视为主元，反客为主，把不等式变形为：

由此可见，我们在重视分类讨论的思想方法应用的基础上，也要注意克服“遇参数就讨论”的思维定式，对于蕴含着分类讨论因素的数学问题，应当首先作一番深入的考查，善于发现题目所要求的目标核心，充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和简单性，尽力打破常规，尽量简化或避免不必要的讨论，从而提高解题速度.