山东省广饶县第一中学　　孟　　伟

均值不等式的研究

山东省广饶县第一中学孟伟

这个看似复杂的题实际上用n个二元均值不等式就可以解决，其中用到的手法就是局部分析处理，难题就是一些简单事实的罗列.

高中数学不等式均值

在不等式中，常常遇到n个变元的问题.这时，常用的手法是拿出一个或两个变元单独处理，解决局部问题从而达到解决整体问题的目的.

例1设x1，x2，……，xn都是正数.证明

最自然的想法是证明左边的每一个式子都分别大于等于右边的每一个式子即可.由均值不等式，……可类似的得到n个式子，将上式叠加，即得

再移项，即证题中不等式.这个看似复杂的题实际上用n个二元均值不等式就可以解决，其中用到的手法就是局部分析处理，难题就是一些简单事实的罗列.

在证明不等式时，比如要证x1+x2+……+xn≤0，可以证每个变量小于等于0或使其小于等于多个易于求和的式子，使这些式子相加为0即可达到证明.

例2设x1，x2，x3〉0，证明

有时在证明不等式的问题中，我们常常先找出不等式等号成立的条件，从而进一步证明.

我们发现x1=4x2=16x3时，等号成立.

在其他的一些用均值不等式证明的题中，有时还需构造的技巧，适当添加项.比如在用n元均值不等式时，可构造出n个式子，再利用不等式.

由以上的两个题可看出，局部分析可有力地解决整体问题.微积分是现代数学的一个重要分支，就是从微观的角度来解决问题.一般只有从微观上可反映问题的本质，整体问题用局部分析的方式解决.这本身就体现一种思想，非常重要的思想.