殷建峰

（苏州经贸职业技术学院， 江苏 苏州 215009）

一、多元函数Taylor公式的引入

为了引入多元函数的Taylor公式，先介绍一种常见的单变量函数的Taylor公式。

定理1[1]若函数f（x）在[a，b]上有直到n阶连续导数，在（a，b）上（n+1）阶导数存在，则∀x，x0∈[a，b]，有

其中 ζ介于 x 与 x0之间：ζ=x0+θ（x-x0），0＜θ＜1。

（1.1）式称为函数f（x）的Taylor公式，右端多项式称为（fx）的泰勒多项式。而剩余部分

称为 f的拉格朗日（Lagrange）余项，这样（1.1）又称为带拉格朗日余项的Taylor公式，可简记为f

如果条件减弱为：函数f（x）在（a，b）内具有直到n阶导数，则余项Rn（x）可以写为Rn（x）=ο（（x-x0）n），其中（x-x0）→0，称为佩亚诺（Peano）余项，则f（x）称为带有佩亚诺余项的Taylor公式。

此时（1.1.3）式称为麦克劳林(Maclaurin)公式，根据Rn（x）的不同，麦克劳林公式又分带有Lagrange余项的麦克劳林公式和带有Peano余项的麦克劳林公式。

二元函数的Taylor公式，其方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数，应用已知的一元函数的Taylor公式和复合函数的微分法得到二元函数的Taylor公式。

为了将二元函数f（x，y）在点Q（x0+h，y0+k）的函数值f（x0+h，y0+k）在点P（x0，y0）展成泰勒公式，作辅助函数 u（t）=f（x0+th，y0+tk），0≤t≤1，即 u（t）=f（x,y），x=x0+th，y=y0+tk，0≤t≤1。

显然有u（0）=f（x0，y0），u（1）=f（x0+h，y0+k）

于是，函数 f（x0+h，y0+k）在点 P（x0，y0）展成的Taylor公式就是一元函数u（t）在点0的Taylor公式（即Maclaurin公式）在t=1的值。

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（1.2.2）式称为二元函数 f（x，y）在 P（x0，y0）的Taylor公式。

以类似的方法，可以推广出多元函数的Taylor公式（1.2）。

定理2 设D是Rn中的一个开集，a=（a1，a2，…an），h=（h1，h2，…hn），且[a，a+h]⊂D。若 f在点 a 的领域内有m+1阶偏导数，则有式（1.2）成立，式中θ∈（0，1）

证明参见文献[2]。

二、多元函数Taylor公式的应用

多元函数Taylor公式具有广泛的用途，本文从以下几个方面举例说明。

（一）在极限方面的应用

对于特定型的极限问题，一般采用L′Hospital法则来求。但是对于一些多元的求导比较繁琐，尤其是还要多次使用L′Hospital法则的情况，此时Taylor公式往往提供了比L′Hospital法则更为有效的求极限工具。

（二）在判别敛散性方面的应用

（三）在近似计算方面的应用

当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出其近似值，这时Taylor公式是解决这种问题的好办法。而这一方面的应用在实际生活中比较广泛，如在工程技术方面近似计算能帮助解决棘手问题或者软件Mathematic可以分析泰勒余项的误差、知道其近似精度等等（可参考文献[3]）。

例2.3[4]求隐函数x+2y+xy+z-2ez-1+1=0在（0，0，1）点领域中的二次近似显式。

解：令z=1+a1x+b1y+c1x2+d1xy+e1y2

（四）在解析几何方面的应用

例 2.4[5]求点 p（x0，y0，z0）到平面 πAx+By+Cz+D=0的距离（其中 A2+B2+C2≠0）。

解：由Taylor定理可知：

设po⊥平面π，垂足为o，点o的坐标为（x，y，z），则

（五）在线性代数方面的应用

Taylor公式的前三项与线性代数的知识有着很紧密的联系，下面我们用向量与矩阵形式重新表达Taylor公式（2.5），并应用（2.5）式解决相关的问题。

定义1[6]在一个开区域D⊂Rn上的多元二次连续可微函数，令点带Peano余项的二阶Taylor展开式为：

令函数的增量为Δf=f（x0+Δx）-f（x0），当Δf（x0）≠0时，可以取不同的Δx，使得Δf取到正值与负值。因此当x0是可微函数f的一个极值点时，x0必是f的驻点（又称临界点），即有

解：由于Δu（0，0，0）为零向量，故不能应用梯度方向是函数增长最快的方向性质求解。则考虑沿某单位方向 l=（α，β，γ）函数 u 的变化 u（tα，tβ，tγ）-u（0，0，0），其中 t是参数，

令 φ（t）=u（tα，tβ，tγ），由 Taylor公式展开有

由于 a＞b＞c 及 α2+β2+γ2=1，当 t＞0 充分小时，沿方向 l=（0，0，±1）φ（t）-φ（0）最大，即函数 u 增加最快。

多元函数Taylor公式的应用远不止这些，例如还可利用其计算极值、证明不等式等，囿于篇幅，这里不再展开说明。

［1］欧阳光中.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2007.

［2］常庚哲，史济怀.数学分析教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

［3］邢永丽，陈建春.泰勒级数在近似计算中的应用[J].湘潭师范学院学报（自然科学版），2004（1）：5-8.

［4］吴炳熙.多元函数泰勒公式的应用[J].工科数学，1992（4）：115-116.

［5］伊水仿.一道几何题的教学处理[J].高等数学研究，2003（1）：7，31.

［6］谢惠民，易法槐，等.数学分析习题课讲义（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.