杨文兴

(邯郸职业技术学院，河北 邯郸 056005)



K=12、y=15时，盈数、朒数的计算过程

杨文兴

(邯郸职业技术学院，河北 邯郸 056005)

用初等数学的知识证明了祖冲之的结论,详细介绍盈数、朒数的计算过程。

圆周率；祖冲之；盈数；朒数

笔者的文章《再现肭数和盈数》在《邯郸职业技术学院学报》2015年第2期发表。该文结论是：只要计算时，在第15位小数进行近似处理就可得到祖冲之的结论，并且这个计算工作可以通过笔和纸来完成。遗憾的是，当时笔者没有用纸和笔的方法完成这个工作，而是计算机程序，调用了计算机语言里的库函数。由于计算机计算时的截断误差以致一组计算结果不精确，对此感到抱歉。这篇补充就是来弥补这个不足的。它要达到如下两个目的：(1)介绍以手，笔，纸为计算工具的计算办法及过程；(2)绝对精确。欢迎读者检验。

K=12、y=15时，意味着分圆为6×2^12等份。计算时保留15位小数，并在第15位小数上作近似处理。在拙文《再现肭数和盈数》中已得到的结论：

D[1]=3^0.5

D[i+1]=(2+D[i])^0.5,i是自然数。

s[12]=(2-D[12])^0.5

m[12]=(2×s[12])÷D[13]

3×212×s[12]

注意：为了减少篇幅，开方竖式中的，有时列没有对齐。

一：盈数的计算过程

圆周率Pi<3×2^12×m[12]

计算s[12]

s[12]=(2-D[12])^0.5

开方计算D[i]时，当得到第15位小数即停止。

D[1]=3^0.5

用笔和纸进行的开方竖式如下:

3.000000000000000000000000000000

1 1

200

189 17

1100

1029 173

7100

6924 1732

17600

00000 17320

1760000

1732025 173205

2797500

0000000 1732050

279750000

277128064 17320508

262193600

000000000 173205080

26219360000

24248711249 1732050807

197064875100

173205080725 17320508075

2385979437500

2078460969036 173205080756

30751846846400

27712812921024 1732050807568

303903392537600

277128129210944 17320508075688

2677526332665600

2424871130596369 173205080756887

25265520206923100

24248711305964229 1732050807568877

∴D[1]>1.732050807568877

D[2]= (2+D[1])^0.5

>(2+1.732050807568877)^0.5

开方竖式如下:

3.732050807568877000000000000000

1 1

273

261 19

1220

1149 193

7150

3861 1931

328980

309024 19318

1995675

1931825 193185

6385068

3863701 1931851

252136787

231822156 19318516

2031463170

1931851625 193185165

9961154500

7727406604 1931851652

223374789600

193185165225 19318516525

3018962437500

2704592313549 193185165257

31437012395100

30909626441184 1931851652578

52738595391600

38637033051561 19318516525781

1410156234003900

1159110991546869 193185165257813

25104524245703100

23182219830937596 1931851652578136

∴D[2]>1.931851652578136

D[3]= (2+D[2])^0.5

>(2+1.931851652578136)^0.5

开方竖式如下:

3.931851652578136000000000000000

1 1

293

261 19

3218

3104 198

11451

7924 1982

352765

317184 19828

3558125

3172544 198288

38558178

35691921 1982889

286625713

277604509 19828897

902120460

793155884 198288972

10896457600

7931558884 1982889722

296489871600

277604561129 19828897227

1888531047100

1586311778176 198288972274

30221926892400

27760456118409 1982889722747

246147077399100

237946766729676 19828897227476

820031066942400

793155889099044 198288972274762

2687517784335600

0000000000000000 1982889722747620

D[3]>1.982889722747620

开方竖式篇幅太长，为此，略去一些开方竖式。

D[4]= (2+D[3])^0.5

>(2+1.982889722747620)^0.5

>1.995717846477206

D[5]= (2+D[4])^0.5

>(2+1.995717846477206)^0.5

>1.998929174952731

D[6]= (2+D[5])^0.5

>3.998929174952731^0.5

>1.999732275819123

D[7]=(2+D[6])^0.5

>3.999732275819123^0.5

>1.999933067834802

D[8]= (2+D[7])^0.5

>3.999933067834802^0.5

>1.999983266888701

D[9]= (2+D[8])^0.5

>3.999983266888701^0.5

>1.999995816717800

D[10]= (2+D[9])^0.5

>3.9999958167178^0.5

>1.999998954179176

D[11]= (2+D[10])^0.5

>3.999998954179176^0.5

> 1.999999738544776

D[12]= (2+D[11])^0.5

>(2+1.999999738544776)^0.5

开方竖式如下:

3.999999738544776000000000000000

1 1

299

261 19

3899

3501 199

39899

35901 1999

399873

359901 19999

3997285

3599901 199999

39738444

35999901 1999999

373854377

359999901 19999999

1385447660

1199999949 199999993

18544771100

15999999456 1999999934

254477164400

239999992116 19999999346

1447717228400

1199999960769 199999993463

24771726763100

23999999215596 1999999934636

77172754750400

39999998692721 19999999346361

3717275605767900

3599999882345061 199999993463619

11727572342283900

7999999738544764 1999999934636192

D[12]>1.999999934636192

D[13]= (2+D[12])^0.5

> (2+1.999999934636192)^0.5

开方竖式如下:

3.999999934636192000000000000000

1 1

299

261 19

3899

3501 199

39899

35901 1999

399893

359901 19999

3999246

3599901 199999

39934536

35999901 1999999

393463519

359999901 19999999

3346361820

3199999904 199999998

14636191600

11999999889 1999999983

263619171100

239999997996 19999999836

2361917310400

1999999983625 199999998365

36191732677500

35999999705781 1999999983659

19173297171900

00000000000000 19999999836590

1917329717190000

1599999986927216 199999998365904

31732973026278400

27999999771226609 1999999983659047

D[13]>1.999999983659047

s[12]=(2-D[12])^0.5

<(2-1.999999934636192)^0.5

= 0.0000000653638079999999999999910^0.5

开方竖式如下:

0.0000000653638079999999999999910

0 0

00

00 00

000

000 000

0000

0000 0000

00006

00004 00002

000253

000225 000025

0002863

0002525 0000255

00033880

00030636 00002556

000324479

000306756 000025566

0001772399

0001533969 0000255663

00023843099

00020453056 00002556634

000339004399

000306796116 000025566346

0003220828399

0003067961556 0000255663466

00015286684399

00010226538644 00002556634662

000506014575599

000460194239241 000025566346629

00045820336358910

0004090615460704 0000255663466298

开方计算已到第15位小数，得0.000255663466298，停止开方计算。然后在第15位小数上加1,得0.000255663466299。有下面不等式成立。

S[12]<0.000255663466299

3×212×s[12]=s[12]×3×212

<0.000255663466299×3×212

=0.000255663466299×12288

0002045307730392

0020453077303920

0051132693259800

0511326932598000

+2556634662990000

3141592673882112

∴3×212×s[12]<3.141592673882112

3×212×m[12]

=3×212× (2×s[12]÷D[13])

= 2×(3×212× s[12])÷D[13]

<2×3.141592673882112÷D[13]

=6.283185347764224÷D[13]

<6.283185347764224÷1.999999983659047

6283185347764224 商

-5999999950977141 3

2831853967870830

-1999999983659047 1

8318539842117830

-7999999934636188 4

3185399074816420

-1999999983659047 1

11853990911573730

-9999999918295235 5

18539909932784950

-17999999852931423 9

5399100798535270

-3999999967318094 2

13991008312171760

-11999999901954282 6

19910084102174780

-17999999852931423 9

19100842492433570

-17999999852931423 9

11008426395021470

-9999999918295235 5

10084264767262350

-9999999918295235 5

0842648489671150

0000000000000000 0

8426484896711500

-7999999934636188 4

4264849620753120

-3999999967318094 2

2648496534350260

-1999999983659047 1

除法计算已到第15位小数，停止除法计算。然后在第15位小数上加1。有下面不等式成立。

∴ 3×212×m[12]<3.141592699550422

∵Pi<3×212×m[12]

∴Pi<3.141592699550422

<3.1415927(盈数)

二：朒数的计算过程。

3×212×s[12]

D[1]=3^0.5

D[i+1]=(2+D[i])^0.5,i是自然数。

s[12]=(2-D[12])^0.5

计算D[i]，i=1,2,…12。

开方计算D[i]时，当得到第15位小数即停止。并在第十五位小数上加1。可得一组近似值。

开方竖式略。

D[1]=3^0.5

D[1]<1.732050807568878

D[2]=(2+D[1])^0.5

<(2+1.732050807568878)^0.5

<1.931851652578137

D[3]=(2+D[2])^0.5

<(2+1.931851652578137)^0.5

<1.982889722747621

D[4]=(2+D[3])^0.5

<(2+1.982889722747621)^0.5

<1.995717846477208

D[5]=(2+D[4])^0.5

<(2+1.995717846477208)^0.5

<1.998929174952732

D[6]=(2+D[5])^0.5

<(2+1.998929174952732)^0.5

<1.999732275819124

D[7]=(2+D[6])^0.5

<(2+1.999732275819124)^0.5

<1.999933067834803

D[8]=(2+D[7])^0.5

<(2+1.999933067834803)^0.5

<1.999983266888702

D[9]=(2+D[8])^0.5

<(2+1.999983266888702)^0.5

<1.999995816717801

D[10]=(2+D[9])^0.5

<(2+1.999995816717801)^0.5

<1.999998954179177

D[11]=(2+D[10])^0.5

<(2+1.999998954179177)^0.5

<1.999999738544778

D[12]=(2+D[11])^0.5

<(2+1.999999738544778)^0.5

<1.999999934636194

s[12]=(2-D[12])^0.5

>(2-1.999999934636194)^0.5

=0.000000065363806^0.5

>0.000255663462387 (开方计算已到第 15位小数，停止开方计算。)

3×212×s[12]

>0.000255663462387×(3×212)=0.000255663462387×12288

=3.141592625811456

∵Pi >3×212×s[12]

∴Pi>3.141592625811456

>3.1415926(朒数)

以上就是当K= 12，y= 15时盈数、朒数的全部计算过程。

与上一篇文章一起，笔者证明了祖冲之的结论。证明过程涉及一点几何及近似计算知识，都属初等数学知识。再由于笔者所用方法和所得结果与史书一些记载资料相吻合，因此笔者认为，祖冲之的结论是其证明出来的，并且他把证明的方法藏在了结果里。

和上一篇一样，冒昧献丑，方法繁琐笨重，不得要领。欢迎批评指正。

这篇文章结束了。借此机会笔者要对文章《再现肭数和盈数》作一点补充。

结论：圆的周长介于其内接和外切正多边形之间。

证明：

圆心o,AB是内接

正多边形的一条边，

CD是外切正多边形

的一条边。F是切点。

AE=BE,CF=DF

AB∥CD

记扇形OAFB的面积为s,圆弧段AB的长度为t，圆的半径为R

t>AB (两点间线段最短)

s1=0.5×CD×OF

=0.5×CD×R

s=0.5×t×R

s1>s

∴CD>t

∴ AB

证毕。

[1] 杨文兴.再现朒数和盈数[J].邯郸职业技术学院学报，2015，(2)

[2] 华罗庚.从祖冲之的圆周率谈起[M].北京：科学出版社，2002

[3] 王海坤，葛丽.祖冲之是怎样计算圆周率的[J].数学通讯， 2013，(4)

[4] 曲安京.祖冲之是怎样得到圆周率π=355/113的[J].自然辩证法通讯，2002，(3)

[5] 王青建.祖冲之的影响与现代数学史教育[J]数学教育学报，2001，(5)

[责任编校：张彩红]

更正声明

文章《再现朒数和盈数》(见《邯郸职业技术学院学报》2015第2期)近末尾处，

关于不同情况下圆周率的估计计算部分，结果不正确。正确的结果如下：

K= 11 yx= 14时

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 0 1 7 6 3 8 4

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 6 4 5 8 6 8 4

K= 11 yx= 15时

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 1 3 7 9 9 9 3 6

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 2 8 4 9 6 9 7 6

K= 11 yx= 16时

C(pi)=3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 2 0 9 7 2 8 0

A(pi)=3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 4 8 3 8 4 1 3

K= 11 yx= 17时

C(pi)=3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 3 2 9 9 0 4 6 4

A(pi)=3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 0 6 3 2 8 4 2 9

K= 11 yx= 18时

C(pi)= 3 1 4 1 5 9 2 6 1 9 3 5 9 9 5 4 9 4 4

A(pi)= 3 1 4 1 5 9 2 7 2 2 0 3 9 1 9 9 7 8 4

***********************************

K= 12 yx= 14时

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 4 8 1 5 8 7 2 0

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 7 4 7 7 3 1 6 9

K= 12 yx= 15时

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 2 5 8 1 1 4 5 6

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 9 9 5 5 0 4 2 2

K= 12 yx= 16时

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 2 6 3 9 8 7 2 0

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 3 1 1 5 2 4 4 9

K= 12 yx= 17时

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 4 8 0 3 2 9 7 2 8

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 0 9 5 2 4 3 3 8 8

K= 12 yx= 18时

C(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 4 5 0 1 9 6 8 8 9 6 0

A(pi)= 3. 1 4 1 5 9 2 6 7 0 7 1 2 0 3 1 4 4 0

杨文兴

2015-12-12

杨文兴，男，河北邢台人，邯郸职业技术学院副教授。

O112

A

1009-5462(2015)04-0035-11