郝建录,刘智敏,陈景涛

(1.山东科技大学测绘科学与工程学院,山东 青岛 266590;2.山东省高校海洋测绘重点实验室,山东 青岛 266590;3.海岛(礁)测绘技术国家测绘地理信息局重点实验室,山东 青岛 266590;4.交通部天津水运工程科学研究所,天津 300456)

0 引 言

利用北斗卫星导航系统(BDS)进行导航定位,是根据已知的卫星轨道信息和用户的观测资料,通过数据处理确定接收机的位置,及其载体的航行速度[1-2]。所以，BDS卫星位置求解是导航定位的基础。其中,BDS星座是由中轨道卫星(MEO)、倾斜地球轨道同步卫星(IGSO)、地球静止轨道卫星(GEO)卫星组成的混合星座。

通过文献[3]和[4]的方法,虽然可以利用BDS广播星历轨道参数计算出任意时刻卫星的位置,但是导航定位中需要多次计算卫星的位置,直接利用广播星历计算卫星位置需要较长的运算时间和较多的内存消耗。为了提高计算效率,通常将卫星轨道拟合成一个时间多项式,在内存中仅保存多项式的系数,供计算时调用[1]。本文仅采用常用的切比雪夫多项式拟合方法[5],探讨北斗卫星轨道的拟合精度。

1 切比雪夫多项式拟合原理

假设需要在时间间隔[t0,t0+Δt]上用n阶切比雪夫多项式拟合卫星轨道,其中t0为拟合的初始时间,Δt为拟合区间的长度。先将变量t∈[t0,t0+Δt]变为τ∈[-1,1]

(1)

于是卫星的坐标X、Y、Z用切比雪夫多项式可以表示为

(2)

式中,CXi、CYi、CZi为切比雪夫多项式的拟合系数,为待求的参数。

Ti(τ)可以由切比雪夫递推公式确定

(3)

根据m个已知点的卫星坐标,利用最小二乘法原理,就可以拟合出n(其中m≥n+1)阶切比雪夫多项式的拟合系数CXi、CYi、CZi,进而直接利用公式(2)计算出该时段[t0,t0+Δt]中任意时刻的卫星位置。

2 算例分析

利用广播星历外推时刻的坐标进行卫星轨道拟合,这时拟合点的卫星坐标是否准确,将直接影响到定位的精度。为了验证拟合多项式的可靠性和精度,主要从影响拟合精度的多项式阶数和拟合点时间间隔(也即拟合点节点数)这两面进行讨论,确定出拟合多项式阶数和拟合点时间间隔为多少最为适宜。

北斗广播星历的更新时间为1 h,因此对广播星历中参考历元的前、后各0.5 h的时间段内进行拟合。采用2013年1月13日0点-9点的广播星历,对跟踪到的所有卫星星历采用切比雪夫多项式拟合。在每个广播星历拟合的1 h内每15 s取一个检核点,这样在0点-9点30分时间段内共有2 281个检核点,在每个检核点上分别用多项式拟合得到的坐标和直接用广播星历计算出的卫星坐标进行对比,得出两种方法的坐标互差(ΔX,ΔY,ΔZ)(简称拟合差),进而精度评定(注:拟合差是指在CGCS2000坐标系下的坐标差)。

拟合差在X、Y、Z方向上的RMS为

(4)

2.1 不同拟合阶数的拟合精度

在拟合点时间间隔为5 min的情况下,分别利用6～10阶切比雪夫多项式拟合每个星历1 h时间段内的卫星轨道,求出0点-9点30分时间段内2 281个检核点的拟合差,并统计拟合差在各轴方向上的RMS.限于篇幅,表1仅示出北斗PRN 1、5的GEO卫星、PRN 6、9的IGSO卫星和PRN 11的MEO卫星在不同阶数切比雪夫多项式拟合坐标的误差。

从表现1可以看出,北斗PRN 1、5的GEO卫星轨道在不同阶数切比雪夫多项式拟合中,拟合阶数为6阶时,RMS值最大,拟合精度最低;拟合阶数在7～10阶时,拟合差三轴方向上的RMS是完全一样的,比6阶的拟合的精度稍有提高。北斗PRN 6、9的IGSO卫星轨道在不同阶数切比雪夫多项式拟合中,拟合阶数为6阶时,RMS值最大,拟合精度最低;拟合阶数为7～10阶时,RMS值都在毫米级内,拟合精度比6阶拟合精度有很大的提高,而拟合阶数在8～10时,拟合精度相同,略比7阶时的精度高。北斗PRN 11的MEO卫星拟合规律与IGSO卫星的完全一致。

通过表1分析可得:在拟合点时间间隔一定的情况下,也即拟合节点数一定的情况下,切比雪夫多项式拟合GEO、IGSO、MEO卫星轨道的精度在一定范围内随着拟合阶数的增加而提高。当拟合阶数达到7阶时,拟合精度已经达到了毫米级,对于米级的广播星历已经是足够的了。因此,在利用切比雪夫多项式拟合BDS卫星1 h时段的卫星轨道时,拟合阶数以7～9阶为宜,拟合精度在毫米级内。

2.2 不同拟合点时间间隔的拟合精度

根据上节的BDS卫星1 h时段的卫星轨道拟合阶数为7～9阶为宜的基础上,本节先固定切比雪夫多项式的拟合阶数为8阶,来探讨不同拟合点时间间隔对轨道拟合的影响。在1 h的时间段内分别取拟合点时间间隔为7.5 min、6 min、 5 min、3 min,这样拟合节点的个数即为9、11、13、21.在这四种拟合点时间间隔的情况下,用切比雪夫多式分别拟合出2013年1月13日GEO、IGSO、MEO卫星在0点～9点30分的卫星轨道,共求出2 281个检核点的拟合差。计算出拟合差在各种方向上的RMS.表2仅示出了北斗PRN 1、5的GEO卫星、PRN 6、9的IGSO卫星和PRN 11的MEO卫星在不同拟合点时间间隔的切比雪夫多项式拟合坐标的误差。

从表2可以看出,在固定拟合阶数8时,无论是哪种类型的卫星,在上述四种拟合点时间间隔的情况下,拟合差RMS在三轴方向上基本上是一样的,也即拟合精度没有随拟合节点数的变大而变化,拟合精度基本上一致,且拟合精度都远小于毫米级。

通过对表2的分析,当拟合阶数为8阶时,只要拟合节点数略大于拟合阶数,拟合精度就能达到毫米级内。

3 结束语

探讨了基于北斗卫星广播星历在不同拟合阶数和不同拟合节点数情况下,利用切比雪夫多项式拟合北斗混合星座GEO、IGSO、MEO卫星轨道,通过实测数据分析后,得到以下几点结论:

1)当在拟合点时间间隔一定的情况下,切比雪夫多项式拟合GEO、IGSO、MEO卫星轨道的精度在一定范围内随拟合阶数的增加而提高。分析认为,在利用切比雪夫多项式拟合BDS卫星1h时段的卫星轨道时,拟合阶数以7～9阶为宜,拟合精度在亚毫米级。

2)当在多项式拟合阶数一定的情况下,切比雪夫多项式拟合GEO、IGSO、MEO卫星轨道的精度没有随拟合节点数的增加而提高,而拟合精度基本一致。分析认为,在利用切比雪夫多项式拟合BDS卫星1 h时段的卫星轨道时,拟合节点个数略大于拟合阶数即可,拟合精度在亚毫米级。

3)证明切比雪夫多项式拟合北斗卫星轨道是一种切实可行的方法,同时节约了计算的使用内存,提高了计算效率。

[1]李征航,黄劲松.GPS测量及数据处理[M].2版.武汉:武汉大学出版社,2010.

[2]程鹏飞,蔡艳辉,温汉江，等.全球卫星导航系统[M].北京:测绘出版社,2009.

[3]郝建录,刘智敏. 北斗导航卫星位置计算方法研究[J].全球定位系统,2013,38(5):5-10.

[4]刘 季.北斗GEO卫星轨道算法研究[J].测绘地理信息,2012,37(5):33-36.

[5]蔡艳辉,程鹏飞,李夕银.卫星坐标的内插与拟合[J].全球定位系统,2003(3):10-13.