张保帅，周孝华，李 强

（重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030）

Bootstrap方法和SV模型在风险测度中的应用

张保帅，周孝华，李 强

（重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030）

文章用SV-GED模型刻画收益率序列的尖峰厚尾、波动集聚以及异方差等特征，在得到标准残差序列的基础上，与Bootstrap方法结合构建一个基于参数---非参数估计的新的风险度量模型——基于Boot⁃strap-SV-GED模型的风险度量模型，最后对模型的有效性进行了分析。研究表明：Bootstrap-SV-GED模型能很好的刻画收益率序列的特征，并且能在一定程度上提高金融风险测量的精度。

Bootstrap方法；SV-GED模型；风险

0 引言

VaR方法主要是利用金融资产回报误差项的分布设定和波动率对风险进行估计，传统的办法是将市场因子看成是具有固定方差的正态分布从而简单估计VaR值。而大量的实证研究表明，资产回报序列并不服从正态分布，而是具有尖峰厚尾性、波动聚集性和偏倚性等非正态分布序列，还有资产回报序列之间往往存在非线性相关性和尾部相关性，而且是时变的。传统的非条件正态分布假设已经不再适用，而更具厚尾特征的条件分布才是更加符合实际市场波动和风险状况的收益分布假定。

本文的研究主要是通过引入SV-GED模型刻画金融收益序列的波动特征，在得到标准残差序列的基础上，进而结合Bootstrap方法，计算收益率序列的VaR值，最后对计算结果进行分析。主要创新之处就是把Bootstrap方法与SV模型结合起来组建一个新的风险度量模型。

1 Bootstrap方法及风险度量模型构建

1.1 Bootstrap方法

Bootstrap方法是1979年Efron首先提出的，在1987年被引入到国内，在过去的几十年时间，该方法在理论和应用上得到了充分的发展，尤其被应用到金融风险度量领域。Bootstrap方法不需要对总体分布作假设或事先推导估计量的解析式，而且还适用于小样本的情形，它要做的仅仅是重构样本并不断计算估计值，显然，它本质上是一种非参数方法。其基本思想为：用已知的经验分布代替未知的总体分布，通过对原始样本采用有放回的抽样来产生伪随机数，从而对总体的特征做出推断。

1.2 基于Bootstrap-SV-GED风险度量模型

为了能充分反应资产收益的异方差性及“尖峰肥尾”特征，本文在基本SV模型基础上采用JP Morgan在Risk Metrics提出广义误差分布(GED)，得到SV-GED模型：

其中：式(1)为均值方程，式(2)为波动率方程；误差项εt和ηt互不相关；φ为持续性参数，反映了当前波动对未来波动的影响，对于φ＜1，SV-GED模型是协方差平稳的。GED是一种更为灵活的分布，通过对参数的调整可以拟合不同的情形。

θt服从均值为μ+φ(θt-1-μ)，方差为τ-1的正态分布，即：

依据公式（1）可以推导出当θt给定时，yt的分布密度函数为：

SV类模型的常用的参数估计主要有伪极大似然法（QML）及广义矩法（GMM）等，但以上方法由于其对样本条件的限制等常会使得参数估计值偏误较大，我们这里采用基于MCMC(Markov Chain Monte Carlo)的贝叶斯估计方法对SV-GED模型的参数进行估计，应用的软件为Winbugs。根据MCMC参数估计的基本原理可知，平稳分布与初始分布无关，Markov链在经过足够多的次数迭代后，若各个时刻状态的边际分布都是平稳分布，则认为该Markov链为收敛的，因此，参数的后验分布不会随着参数的先验分布发生显著变化，由此我们参照Kim、Shephard、Eric等的经验选取以下分布作为先验分布：

考虑到Bootstrap方法主要应用对象是独立同分布的残差序列，而在SV-GED模型中，标准残差zt是一个独立同分布的随机变量，因此可以对zt进行重复再抽样，进而估计出收益率序列的VaR值和区间估计。Bootstrap方法应用过程中需要编写一定的统计程序，主要使用R软件。具体的步骤如下：

（1）有残差序列zt=(z1,z2,…,zn)构造经验分布函数Fn;

（2）从Fb中又放回地随机抽取简单样本z∗=(z∗1,…z∗b)，m≤n，称为Bootstrap子样，z∗i∼Fn，在随机抽样时，采用模特卡罗模拟的方法；

（3）重复步骤（2）抽样N次，由Bootstrap子样得到N个样本的估计值ξi，i=1，…N，样本估计量可以用ξb相应的分为数来表示;

2 实证分析

2.1 样本选取及统计描述

本文以上证综指为应用研究对象，选取上证综指自2010年2月9日到2012年3月21日的共510个每日收盘指数进行分析，数据来源是大智慧炒股软件。定义上证综指的对数收益：

表1、图1给出了上证综指收益序列的描述性统计。从表1中可以看出，上证综指收益均值均接近于0，偏度都为负，峰度大于3，这说明上证综指收益率左偏且具有明显的尖峰厚尾特征；J-B正态性检验也说明收益率显著异于正态分布；从图1可以看出，上证综指具有典型的尖峰厚尾特点，且呈现非对称的分布，还有就是收益率的序列呈现一定的集聚性和爆发性。

表1 上证综指收益率序列的统计特征

图1 上证综指收益率序列图

2.2 SV-GED模型参数及检验

首先对SV-GED模型的待定参数做贝叶斯估计，MCMC的Gibbs的抽样次数为50000次，由于Markov链收敛前的一段时间的迭代中，各状态的边际分布还不能认为是平稳的，因而选择“燃烧”舍去前25000个抽样值，用后25000次的抽样作为各参数的稳定分布抽样，参数估计结果如表2所示。

表2 SV-GED模型的估计结果

由表2可知，自由度值υ的估计值为1.351，明显小于2，表明了收益率明显不同于正态分布，有较强的尖峰厚尾特征，φ接近于1表示收益率序列有很强的波动集聚性，因此，可以认为SV-GED模型很好地刻画了收益率序列的特征。而采用MCMC估计，参数估计值序列的收敛性诊断异常重要，如果一个参数估计值序列不收敛，那就意味着它不会围绕一个值来波动，方差将会很大，也就是等价于一个回归模型中的回归参数的t值非常小，从而无法通过统计检验。基于此，我们要对SV-GED模型进行收敛性诊断。

有表2可以看到，各个参数的MC误差远小于标准差，我们可以得到一个初步的结论，参数的估计趋于收敛；然后参数估计值收敛性的判断可以通过观察各参数估计值的演进图、变化趋势图、以及自相关图获得一个进一步的判断。我们就以参数φ为例，看下φ的演进图、变化趋势图、以及自相关图，在图2的演进图中可以看出两条Markov链很快就绞合在一起了，变化趋势图也是如此，而且两条链都没有表现出明显的变化趋势，而在自相关图中各参数经过将Markov链打薄处理后明显不具有记忆性了，其他的不再列举，因此可以判断各参数的估计值是收敛的。

图2 参数φ估计值的收敛情况、概率分布及自相关图

2.3 基于Bootstrap-SV-GED模型的VaR估计及检验

2.3.1 Bootstrap-SV-GED模型的VaR估计

接下来，我们应用Bootstrap方法计算出残差序列的极大似然估计和区间估计（表3）。

表3 Bootstrap下95%、99%置信水平VaR估计

有表3可以看出，在95%置信水平下，在抽样次数100次的时候，区间估计表现不是很好，而随着抽样次数的增加，区间估计就比较稳定了，并且区间估计显得比MLE估计更加紧凑，这说明，引进Bootstrap方法可以在一定程度上弥补数据不足的缺陷；而在的99%的置信水平下，区间估计整体表现的都比MLE估计紧凑。接下来我们对Bootstrap-SV-GED模型效果进行分析。

2.3.2 Bootstrap-SV-GED模型的统计检验

为了检验模型的计量效果，将计算出的VaR与实际损失做比较，通常采用的是Kupiec失败率检验法，具体就是当实际损失大于VaR时，称之为一次“异常”，可通过检验发生的“异常”个数诊断估计模型。Kupiec给出了这种检验方法的置信域，在置信域内异常的次数越低，模型的预测效果越好，但异常次数过低，却意味着模型过于保守。依次选择置信度为0.95、0.99，为了比较模型的效果，分别用Bootstrap-SV-GED的VaR模型与基于SV-GED的VaR模型与Bootstrap-GRACH模型的VaR模型预测样本数据样本的VaR值，然后与实际VaR值对比做后验测试，检验结果见表4。

表4 VaR失败率的Kupiec LR检验结果

由表4看出，置信度越高，各模型通过检验的失败次数越少，其中Bootstrap-SV-GED模型和另外两个模型相比失败次数更少，对VaR的预测效果更好。同时Bootstrap-GRACH模型表现比SV-GED模型要好，说明应用Bootstrap方法度量金融风险是比较有效的。因此可以得出结论，Bootstrap-SV-GED模型能在一定程度提高VaR的预测效果，说明Bootstrap-SV-GED模型是合理有效的。

3 结论

VaR己经成为金融风险度量的重要工具之一，近些年获得了重大的发展，对于VaR方法的改进主要体现在两个方面：一是计算速度和计算精度的改进；另一方面是对所谓“标准VaR”的扩展。本文提出的基于Bootstrap方法和SV模型的VaR计算，是在计算精度方面的改进，将这种统计方法应用到了金融领域中的，克服了样本不够时估计VaR不准确的缺陷，并且还能得到VaR的区间估计。同时，Bootstrap-SV-GED模型既考虑了金融数据的尖峰厚尾、波动集聚、异方差等特征，又很好的模拟了残差序列的特征，这种灵活的参数-非参数风险度量模型能在很大程度上提高风险测量的精度，有很广阔的应用前景，譬如投资组合的风险、极值尾部的风险以及波动率等，其中基于Bootstrap方法和SV模型与极值理论结合研究风险度量是我们下一步研究方向。

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F224

A

1002-6487（2013）04-0066-03

中央高校基本科研业务费资助项目（CDJXS11021112）；重庆市自然科学基金计划项目（CSTC2011BB2088）

张保帅（1981-），男，河南泌阳人，博士研究生，研究方向：金融风险管理。

周孝华（1965-），男，湖南武冈人，教授，博士生导师，研究方向：金融工程、金融市场及风险管理。

李 强（1969-），男，河南焦作人，博士研究生，研究方向：金融工程和风险管理。

（责任编辑/亦 民）