徐陈超，祝宇红，叶全林

（杭州师范大学理学院，浙江杭州310036）

0 引 言

有限扩散凝聚DLA模型［1］由Witten和Sander在1981年提出，用于解释生活中所观察到的烟尘微粒的分形聚集现象．随后该模型被广泛用于研究各类分形凝聚体，并在实际应用中得到了很大的改进与发展．Niemeyer等［2］在DLA模型中通过引入电势能让粒子结合具有一定概率，从而提出了电介质击穿（DBM）模型；Nittmann等［3］在DLA模型中引入法向及切向的随机因子，模拟旋转流动下DLA团簇生长形态的变化，建立了噪音衰减（NR）模型；Mogi等［4］由无电极沉积实验提出了磁流体动力学效应（MHD）．近几年，Fernández－Toledano等［5］在DLA模型的基础上引入汤川势，研究了粒子间凝聚的结合能和作用范围；Balakirev等［6］研究了在磁性薄膜上的多种子的DLA模型，得到了在磁场中各向异性的DLA凝聚体．张凯等［7］通过改变粒子释放半径的大小来减少DLA模型模拟时间；李小刚等［8］研究了DLA模型在粘性指进模拟中的应用，讨论了粘性指进的实验与计算机模拟研究中存在的问题以及发展方向．

在经典DLA模型中一个基本假设是每个释放粒子所具有的初始能量为零，粒子在格点平面上作无规的布朗运动，一旦与种子或团簇接触就直接被吸附不再继续运动．该假设与很多实际过程并不符合，如在薄膜生长过程中，蒸发或溅射出来的原子所具有的初始能量并不完全相同，而且有些原子被吸附后还会沿着团簇边缘进行扩散运动，甚至有一定概率脱离团簇，此类过程的差异可导致沉积原子在基底上的凝聚行为很不相同［9－12］．因此，在经典DLA模型的基础上，进一步研究粒子初始能量以及可能的脱附及边缘扩散对凝聚体的形貌、结构和分形维数的影响是非常重要的．然而，迄今未见相关报道．本文在Matlab平台上采用Monte Carlo方法，模拟粒子在二维格点平面上的运动和凝聚行为，通过改变粒子初始能量并考虑粘附粒子具有脱离团簇的概率，模拟得到边缘扩散效应对凝聚体的形貌和分形维数的影响关系．

1 模拟理论与方法

经典DLA模型是在格点平面的中央放置一个种子粒子，然后在格点平面的边缘随机释放一个粒子（不考虑粒子的初始能量），粒子在网格平面内作无规的布朗运动，直到抵达种子粒子邻近位置与种子粒子黏住不动，然后下一个粒子从边缘释放，如此循环；如果在随机游走时，粒子移动到格点平面边缘，则放弃该粒子，从边缘重新释放下一个粒子．粒子的这种无规运动使绝大部分粒子在团簇的尖端凝聚，只存在较小的几率粒子到达团簇或分枝的内部（此即分枝屏蔽效应），因此，得到的凝聚体结构较松散，其分形维数D＝1．67［1］．

本文在经典DLA模型的基础上，模拟了粒子具有一定的初始能量以及粒子与格点及团簇有相互作用的情况下粒子的凝聚行为．模拟的具体规则和步骤如下：

1）定义一个L×L的格点空间（本文L＝251），在格点中心放置一个粒子，设为种子粒子；

2）以种子粒子为中心，定义一个初始释放半径R0（本模拟中的最优化取值为80）［7］，在R0处释放一个有一定初始能量E0的粒子让其在格点平面内随机游走；此处，初始能量E0的取值是［0，Emax］范围内的随机数，而且将粒子在格点上每运动一步所需的能量Eact定义为一个能量单位，则初始能量及文中其它能量均为相对于Eact的倍数［10］．

3）单个粒子限制在格点平面中以随机步长运动（步长满足最大值为L／100的均匀分布，取整），由于粒子与格点平面有相互作用能，则每运动一次能量减小Eact；

4）当运动粒子与种子（或已有团簇）接触时，根据粒子的能量Ee（i，t）∈［0，E0］确定粒子的运动规则：

a）当粒子的能量Ee＞Eesc（粒子脱离团簇的能量），粒子以一定的概率Pesc脱离团簇继续在格点平面内做随机游走．

b）当粒子的能量满足Eedge（粒子边缘扩散的能量）＜Ee＜Eesc，则粒子在团簇表面做边缘扩散运动，每运动一次粒子能量减少Eedge，直到粒子能量Ee＜Eedge，粒子将粘在团簇上不再运动．

c）当粒子能量Ee＜Eedge，粒子均直接粘在团簇上不再运动．

5）粒子与团簇粘附不动后，计算该粒子与团簇中心粒子的距离ri，如果ri＜（2／3）R0，则释放半径将增加10个单位，然后释放下一个粒子，并重复步骤3）和4）．

6）如果粒子在随机游走时，移出格点平面，则释放下一个粒子，重复步骤3）和4）．

7）所有粒子释放完毕，全部粒子运动停止后，程序结束，本文中释放的总粒子数为10 000个．

8）对模拟得到的凝聚体，采用盒维数法计算其分形维数［11］．本文给出的分形维数的值均为每一条件下30次模拟所得凝聚体分形维数的统计平均值．

在整个模拟过程中，随机数的产生起着非常重要的作用，无论是粒子初始释放的半径、行走方向，还是粒子初始的能量，都由RAND函数生成的随机数决定．在Matlab程序中仅用RAND命令获得的随机数是以0作为随机数发生器初始值所产生的随机数序列（缺省值），即rand（'state'，0）．而每次所产生的“随机数”大多是依次从该序列中抽取出来的，事实上是一组固定的数据，因此，在多次模拟实验中所长出的聚集体图形都是完全相同的．为了避免这种伪随机的情况发生，笔者在模拟程序中采用了以系统时间值作为随机数发生器的初始值（即语句rand（'state'，sum（clock）））．其中clock语句是返回一组6个元素的向量：［year month day hour minute seconds］，即为系统当前的时间，由于时间是不断变化的，sum（clock）随时间变化，产生的随机数序列也随之变化，所取得的随机数不再是一组固定的数据．这样，粒子的出点位置是一组更好的随机序列，行走的方向以及粒子能量也是真正随机的，这更符合Monte Carlo方法的要求，当参数相同时，可获得的凝聚体形貌相似但又不完全相同，从而具有更高的可信度．

2 结果与讨论

根据粒子在格点平面中运动可能发生的物理过程及其所涉及的能量［12］，通过调整模拟参数，得到了不同的物理模型，分别是退化到经典的DLA模型、只考虑粒子脱附的模型、只考虑边缘扩散的模型和既有粒子脱附又有边缘扩散的模型．表1给出了各种模型所对应的主要物理参数及所得凝聚体分形维数．

表1 模拟的类型和采用的主要物理参数Tab．1 Simulation modes and main physical parameters used

2．1 经典DLA生长模型模拟

为了验证程序的可靠性，设定粒子初始最大能量Emax＝0，Eesc＝∞（只要粒子与团簇接触就不再脱离），Eedge＝∞（粒子不作边缘扩散运动），具体参数见表1．这样设定后，该模型即退化为经典的DLA模型．模拟得到的典型凝聚体结构如图1所示，其分形维数的平均值＝1．67，该值与经典DLA模型的模拟结果一致，表明本文所建立的模型是合理的．如果粒子具有一定的初始能量，但在随机行走过程中不考虑粒子脱附和边缘扩散，得到的凝聚体结构及分形维数也与经典DLA结果基本一致（表1），说明在没有粒子脱附和边缘扩散的情形下，粒子初始能量对凝聚体结构影响不大．

图1 退化到经典DLA模型得到的分形凝聚体Fig．1 Fractal aggregates simulated from the model degenerated into DLA model

2．2 考虑粒子以一定概率脱附团簇

当粒子能量Ee＞Eesc时，粒子将以一定概率脱离团簇，继续在格点平面中作随机行走，每行走一步能量减少Eact，当Ee＜Eesc时，粒子才粘附在团簇上不再运动（此处不考虑边缘扩散）．该过程与经典DLA模型中只要粒子与团簇相接触粒子就被粘附在团簇上的过程不同．当最大初始能量较小时，模拟结果与经典DLA类似，如图2（a）所示．当粒子初始能量增大时，由于粒子的脱附，粒子在团簇尖端凝聚的概率相对减小，从而有一定概率进入凝聚体的分枝内部，如图2（b）所示，脱附概率为0．8时的凝聚体平均分形维数＝1．70，比经典DLA的值略大一些．但随着初始能量的增加，分形维数变化并不明显．如果减小脱附概率，凝聚体结构和分形维数逐渐退化到经典DLA的结果（表1）．

图2 只考虑粒子脱附得到的分形凝聚体（Pesc＝0．8）Fig．2 Fractal aggregates simulated from the model only considered particle escape（Pesc＝0．8）

2．3 仅考虑粒子的边缘扩散

当粒子能量Ee＞Eedge，但是无脱附（即脱附概率Pesc＝0）时，粒子只作边缘扩散．模拟结果发现，粒子只作边缘扩散时所得到的凝聚体结构对初始能量比较敏感．图3（a）和3（b）分别给出了最大初始能量为500和3 000时的凝聚体．从图中可以看出，随着初始能量的增加，分枝凝聚体的密度明显变密，分形维数从1．68急增至1．89．与图2比较可以发现，相对于粒子脱附，边缘扩散对凝聚体结构的影响更大．

图3 只考虑边缘扩散得到的分形凝聚体Fig．3 Fractal aggregates simulated from the model only considered edge diffusion

2．4 既有粒子脱附也有边缘扩散

实际的薄膜生长过程中，粒子既有一定概率脱附团簇，也有一些做边缘扩散运动．当粒子能量Ee＞Eesc，粒子会有一定概率脱离团簇，脱离团簇的粒子和未脱附的粒子，只要其能量大于Eedge，粒子将会沿着团簇的表面边缘运动，每运动一步，能量减少Eedge，直到粒子能量小于Eedge，则粒子粘附在团簇的表面．图4给出的是粒子具有不同最大初始能量Emax的情况下，同时考虑粒子脱附和边缘扩散生长得到的分形凝聚体．当Emax较小时，分枝分布的空间较大，粒子进入分枝内部的概率比较小，所以分形维数也较小（Emax＝500时，平均分形维数＝1．66），与经典DLA结果类似，如图4（a）所示．随着Emax的增大，分枝所分布的空间在缩小，越来越多的粒子突破分枝的屏蔽效应进入分枝内部，导致凝聚体结构更加致密，分形维数也逐渐增加．当Emax为2 000，4 500，和7 000时，所对应的凝聚体平均分形维数分别为1．82，1．91和1．93（图4（b），（c），（d））．当粒子初始能量固定，若减少粒子脱附概率，笔者发现凝聚体的分形维数并不是减小而是增加的（表1），原因是尽管脱附的粒子减少了，但这些粒子将作边缘扩散，而根据前文可知，边缘扩散对凝聚体分形维数的影响比粒子脱附要大．

图4 同时考虑粒子脱附和边缘扩散得到的分形凝聚体（Pesc＝0．8）Fig．4 Fractal aggregates simulated from the model considered both the particle escape and edge diffusion（Pesc＝0．8）

为了进一步了解粒子最大初始能量对凝聚体分形维数的影响，将粒子最大初始能量从500变化至10 000，能量间隔为500，对每单位能量分别做30次模拟，然后对所得的凝聚体分形维数进行统计分析．图5给出的是凝聚体平均分形维数随粒子最大初始能量（Emax）的变化关系．从图中看出，当能量从500变到4 500时，凝聚体的分形维数从1．66急剧增大至1．91．但随着Emax继续增大至10 000，分形维数的增长变得非常缓慢，并逐渐趋于饱和值（1．93）．该饱和值略低于二维图形的维数（2．0），说明所形成的凝聚体内部仍存在一些未被粒子填充的空隙，此类空隙在薄膜的实际生长过程中可能会由于凝聚体结构的晶化等过程而减小或消失．

图5 凝聚体分形维数随粒子初始能量的变化关系（Pesc＝0．8）Fig．5 The maximum initial energy dependence of fractal dimension of aggregates（Pesc＝0．8）

3 结 论

本文在经典DLA模型的基础上加以改进，加入粒子在界面运动物理参数（包括运动中消耗的能量、粒子与凝聚体结合的能量、粒子在凝聚体表面做边缘扩散需要的能量等），使得模拟结果更加接近物理现实．结果发现，粒子脱附和边缘扩散对凝聚体的结构和分形维数均有影响，但边缘扩散的影响更大一些．而且在有边缘扩散的情况下，凝聚体的分形维数随着粒子最大初始能量有一复杂的变化关系，即分形维数先随初始能量呈线性增大，但当初始能量增大到一定值之后，分形维数增长变得非常缓慢并逐渐趋于饱和．该研究结果为进一步理解薄膜生长早期的复杂过程提供了一些物理基础和模型．

［1］Witten T A，Sander L M．Diffusion－limited aggregation，a kinetic critical phenomenon［J］．Phys Rev Lett，1981，47（19）：1400－1403．

［2］Niemeyer L，Pietronero L，Wiesmann H J．Fractal dimension of dielectric breakdown［J］．Phys Rev Lett，1984，52（12）：1033－1036．

［3］Nittmann J，Stanlcy H E．Tip splitting without interfacial tension and dendritic growth－patterns arising from molecular anisotropy［J］．Nature，1986，321：663－668．

［4］Mogi I，Okubo S，Nakagawa Y．Dense radial growth of silver metal－leaves in a high magnetic field［J］．J Phys Soc Jpn，1991，60（10）：3200－3202．

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