刘 海，汤 庸，陈启买

(华南师范大学计算机学院，广东广州510631)

面向对象数据库技术是面向对象技术和数据库技术结合的产物．随着网络平台模型、移动网络技术、场景技术发展，业界存在大量对象数据的管理需求．ODMG 组 织 先 后 推 出 ODMG 1．0［1］、ODMG 2．0［2］和 ODMG 3．0［3］规范，学者们从面向对象数据库的查询优化［4］、面向对象数据库管理系统的主动机制［5］和面向对象数据模型的时态扩展［6］等方面进行相关研究．与ER数据模型、UML软件功能模型相似，ODMG面向对象数据模型同样存在对象一致性、关系一致性、冗余性判断问题，因此需要研究ODMG对象数据模型的一致性和冗余性等自动推理判断问题．

有关数据模型的相关检测的研究，CALVANESE等［7-8］和 BAADER 等［9］分别利用描述逻辑 DLR 和ALNUI，将ER模型转化为描述逻辑DLR和ALNUI的知识库，并利用描述逻辑DLR和ALNUI的推理机制，对ER模型实体可满足性、关系可满足性和模型冗余性等进行自动推理，但没有考虑ER模型中的属性依赖关系．LUTZ［10-11］研究了带属性依赖的ER模型的自动推理问题．蒋运承等［12-13］针对模糊数据库的特点，特别是模糊ER模型的验证需求，在描述逻辑ALNUI的基础上，提出模糊描述逻辑FALNUI，并将模糊ER模型转化为对应的知识库，利用FALNUI的推理机制对模糊ER模型进行推理;同样，蒋运承等［14］将带属性依赖时序ER模型εRVTAD转化为ALCQI(D)US的知识库，从而利用ALCQI(D)US的推理机制对带属性依赖时序ER模型εRVTAD的可满足性、冗余性、包含关系和蕴含关系等问题进行自动推理．CALVANESE等［15］利用描述逻辑讨论面向对象数据模型与描述逻辑ALUNI知识库关系，并证明对(类)数据的包含关系、可满足关系性，但对对象数据之间联系的依赖关系缺少深入的研究．BERARDI等［16］研究了UML类图与描述逻辑知识库之间的关系，利用描述逻辑DLRifd将UML中的类、关联、聚合、继承等概念或关系转化为DLRifd知识库，通过DLRifd推理能力对UML类图模型的一致性、包含关系和等价问题进行自动推理，但主要侧重点以对象程序设计视角对静态类图及其关系进行知识表示和推理，因此ODMG面向对象数据模型知识表示和相关问题自动推理，是适应语义数据处理技术和面向对象数据模型应用发展的内在要求．

本文针对ODMG面向对象数据模型，在描述逻辑ALCQI(D)的基础上，将ODMG面向对象数据库模型转化为知识库，并证明转换正确性．然后借助描述逻辑［17］的推理服务能力，将ODMG面向对象数据模型中类一致性、包含性、冗余性检测问题转化为相应知识库的推理问题．

1 ODMG对象数据模型

对象数据库管理系统通过直接存储对象来进行数据管理，对象是面向对象数据模型的基本构造词，对象状态通过其属性取值体现，也可以是关系属性．类与类间可以有继承关系．面向对象ODMG对象数据模型可以用ODL语言描述［5］．为了简单起见，本文仅考虑ODMG对象数据模型的静态属性部分，而不考虑其行为特征．

为了对ODMG面向对象数据模型进行形式化定义，首先对ODMG基本数据类型Γ和其类型取值进行形式化定义:

定义1［3］ODMG对象数据类型OΓ定义为:

ODMG预先定义的对象类型(如 Object)是ODMG对象数据类型，即ROΓ⊆OΓ．

ODMG对象数据模型中的类标志符号是ODMG对象类型，即CΓ⊆OΓ．

定义2［3］ODMG文字数据类型LΓ定义如下:

预先定义的文字类型是ODMG文字数据类型，即 RLΓ⊆LΓ;

设l_constr代表一般集合文字类型构造词，代表着{set，bag，list，array}，则对于任意的 ODMG 类型τT，则集合文字构词l_constr＜T＞⊆LΓ;

设 p1，…，pnAS∪RS是不同的标志符，AS为类中属性成员的集合，RS是类中关系属性的集合，并且t1，…，tn是T的类型，则结构文字struct(p1t1，…，pntn)⊆LΓ．

ODMG对象数据类型OΓ和文字数据类型是ODMG面向对象数据库模式中合法的数据类型．记作 T=OΓ∪LΓ．

定义3 假定符号O表示对象数据类型OΓ的集合，νO为对象取值论域，νO定义如下:

O⊆νO．

若 ν1，…，νkνO，则［υ1，…，υk］νO．

若 ν1，…，νkνO，则［A1∶υ1，…，Ak∶υk］νO．

其他均不是νO．

定义4 假设符号v是文字数据类型T数据的集合，vL是文字对象取值论域，vL定义如下:

v⊆νL．

若 ν1，…，νkνL，则［υ1，…，υk］νL．

若 ν1，…，νkνL，则［A1∶υ1，…，Ak∶υk］νL．

定义5 给定2个有限集合X和Y，从X到Y的函数如果满足:∀xiX，有 T(xi)=yiY，则称 T为Y上的X标记的元组，并记为T(X，Y)．

下面给出ODMG面向对象数据库模型的形式化定义．

定义6 ODMG面向对象数据库模式可以刻画为元组 TS= 〈LS，≤S，≤T，attS，attR〉，其中

(1)LS=CS∪AS∪RS∪TS∪DS，其中 CS是ODMG面向对象模型类名符号的有限集合;AS是类中attribute属性符号的有限集合，可以是简单属性(Simple Attribute)符号，记作 A，也可为结构属性(Structure Attribute)符号，记为S，每个属性Ai都有1个基本论域BDi;RS是类中relationship关系属性符号的有限集合;TS是ODMG面向对象数据模型中合法数据类型的集合，包括ODMG对象数据类型OΓ和ODMG文字数据类型LT;DS是基本论域符号的集合，它们是由文字取值论域νLT、对象取值论域νO和具体论域ΦD组成．

元组(CS，AS，RS，TS，DS)称为是 ODMG 面向对象模型的signature．

(2)≤S⊆CS×CS是CS之间的继承关系．

(3)≤T⊆TS×TS是TS之间的继承关系．

(4)attA:CS→T(AS，DS)是从 CS到 T(AS，DS)的函数，即对类中的任意对象O，attA将对象O映射为DS上的AS标记的取值，这个取值可能是简单的对象类型，或是文字类型，也可能是集合文字类型，还可以是结构类型．

(5)attR:RN(CS，C'S)→T是ODMG对象模型中2个对象类型之间关系取值函数．这个取值可能是原子对象类型，或是原子文字类型，还可能是结构类型．

为了刻画ODMG面向对象数据模型的语义，引入和对象数据模型表示信息结构相一致的面向对象数据库状态(OODS)．

定义7 ODMG面向对象数据库模式S对应的数据库实例 J是1 个四元组(OS，π，ρ，λ)，其中 OS是由1组有限的对象标志符OID集合;函数π:2OS→CS将OS的子集映射成CS中的某个类;函数ρ:OS→νOJ给OS中的指定对象赋值为νOJ．解释函数λ:T→ν指定νL的数据取值的类型．并且满足下列条件:

πJ(O)=CJ

λJ(T)=TJ

(l_constr＜T ＞)J={［υ1，…，υk］…，k}}

(Struct(A1:T1，…，Ak:Tk))J={［A1∶υ1，…，Ah∶υh］k，υiTJ

i，i{1，…，k}，υiVoJ，i{k+1，…，h}}．

在这些定义的基础上，给出ODMG面向对象数据库模式S的语义如下:

定义8 给定ODMG对象数据库的模式S，BD=∪DiDSDi是基本论域的集合，并且 Di∩Dj≠Ø，则OODS=(ΔOB，·OB)是与S对应的面向对象数据库的状态，其中:ΔOB是ODMG面向对象数据模型使用的基本论域的集合．函数·OB为:

如果ODMG面向对象数据库模式S的状态满足模型中的所有约束，则称模式S具有的状态是可接受的．因而有定义:

定义9 给定ODMG面向对象数据库模型S=〈LS，≤S，≤T，attS，attR〉，如果 1 个面向对象数据库状态 OODS=(ΔOB，·OB)合法，当且仅当 OODS满足下列条件:

(1)对于模式中存在任意类C，有COB≠Ø．

(2)对于任意类 C1和 C2，如果 C1≤SC2，则有C1OB⊆C2OB．

(3)若T是T'的子类，当且仅当λJ(T)⊆λJ(T')．

若 attR(C，R)=l_constr＜ C'＞且 attR(C'，R-)=l_constr＜C'＞，则attR是多对多的联系，记作R1．

若 attR(C，R)=l_constr ＜ C'＞且 attR(C'，R-)=C，则attR是1对多的联系，记作R2．

若 attR(C，R)=C'且 attR(C'，R-)=C，则 attR是1对1的联系，记作R3．

2 基于描述逻辑ALCQI(D)的面向对象数据模型

为了利用描述逻辑的推理机制对面向对象数据模型的可满足性、冗余性和包含关系等问题进行自动推理，需要解决2个问题:(1)将ODMG面向对象数据模型转化为ALCQI(D)知识库，并证明这种转化的正确性;(2)将ODMG面向对象数据模型的推理问题转化为ALCQI(D)推理问题，同时证明这种转化的正确性．

2．1 面向对象数据模型和ALCQI(D)知识库转化

与ER模型、UML类图和知识库的对应关系相似，ODMG面向对象数据库模式TS与描述逻辑ALCQI(D)知识库的对应关系也可以通过转化函数φ实现．转化函数φ需要体现对象数据类型和概念之间的关系．为了描述转化关系，引入AbstractClass，StruType和LconstrType分别表示类类型、结构体数据类型和文字构造数据类型，Value对应于对象类型的取值关系，member表示文字构造类型lconstr-Type中的成员关系．下面给出转化函数φ的定义．

定义10 给定1个ODMG面向对象数据模型的模式TS，与TS对应的描述逻辑ALCQI(D)的知识库φ(TS)=(TA，TP，TT)分别由以下规则得到:

(1)φ(TS)的原子概念集合TA由下列元素组成:·AbstractClass，StruType，LconstrType 是原子概念．

(2)φ(TS)的原子关系集合TP由下列元素组成:

·member，value为原子关系．

(3)φ(TS)的公理集合TT由下列元素组成:

Class∃=1value．

·对于类C中的不为文字构造类型、结构体类型的其他类型属性a，存在公理:

·若a属于文字构造类型lconstrtType＜T＞，存在公理:

·若a属于结构类型，存在公理:

·对于对象类C和C'的联系属性R和逆关系R-，存在如下公理:

φ(R)≡φ(R)-;

φ(R1)≥1φ(R)．φ(C')≥1φ(R')．φ(C)．

φ(R)≡φ(R)-;

φ(R2)≥1φ(R)．φ(C')=1φ(R')．φ(C)．

φ(R)≡φ(R)-;

φ(R3)=1φ(R)．φ(C')=1φ(R')．φ(C)．

·对于类层次关系，转化为公理:

1)对于extends单继承关系，则转化公理为:φ(C1)∀value．φ(C2)．

2)对于 ISA多继承关系，则转化公理为:φ(C1)∀value．(φ(C1)… φ(Ck))．

例1 针对文献［5］给出的ODMG TS传化为知识库 φ(TS)=(TA，TP，TT)如下:

TA={StruType，SetType，Movie，Film，title，year，length，fileType，stars，ownedBy，Star，Addr，Gend，name，address，gender，starredIn，voicein，Stdio，s_name，s_address，owns，Cartoon，voices};

TP={member，title，year，length，filmType，stars，ownedby，name，address，gender，starredIn，voiceIn，s_name，s_address，owns，voices};

(1 Stdio．));

2．2 转化正确性的证明

为了进行转化正确性的证明，参照文献［15］，对ODMG面向对象数据库模式TS的深度进行定义．

定义11 对于ODMG数据模型中任意数据类型T的深度dept(T)可以归纳定义如下:

定义12 ODMG面向对象数据库模式TS的深度为模式中所有类型表达式T的深度最大值．

假定TS为ODMG面向对象数据库模式，并且深度为m，φ(TS)是转化的 ALCQI(D)知识库，I为φ(TS)的有限解释的论域，记作ΔI|m，为证明定义10转化的正确性，给出如下定理:

定理1 对于任意ODMG面向对象数据模型TS，存在映射:

(1)αTS是面向对象数据库模式TS的实例J到φ(TS)的有限解释论域的映射;αv是实例对象取值到φ(TS)有限解释论域元素的映射，它们满足:

对于模式TS的任意实例J，αTS(J)是φ(TS)的有限解释论域;

(2)βTS是φ(TS)的有限解释I的论域到面向对象数据库模式TS实例的映射，βv是φ(TS)有限解释的论域元素到TS实例对象取值的映射，它们满足:

对于φ(TS)的任意有限解释论域，βTS(I)是面向对象数据库模式TS的合法实例的集合;

对于模式TS中的任意类型T转化得到的φ(T)和论域个体dΔI|m，如果 d(φ(T))I|m，当且仅当 βv(d)TβT(I)．

证明 (1)ODMG面向对象数据库模式TS的数据库实例J，转换成知识库φ(TS)的αTS(J)的解释如下:

·αv是将数据库实例J的任意数据库对象映射为知识库φ(TS)解释论域ΔαTS(J)中的个体．因此ΔαTS(J)是 αv(v)数据元素的集合，并且用 Δid，Δstru和Δlconstr表示原子对象、结构对象和构造文字集合对象．

·对于每个原子概念解释如下:

·对于每个原子关系解释如下:

对于任意类类型取值关系

(value)αTS(J)={(d1，d2)|(αv-1(d1)，αv-1(d2))ρJ}．

对于每个集合类型的成员

(member)αTS(J)={(d1，d2)|{d1Δlconstr且 αv-1(d1)=［…，αv-1(d2)…］}．

若属性成员类型为结构类型 ，

(φ(A))αTS(J)={(d1，d2)|{d1Δstru且 αV-1(d1)=［…，A:αv-1(d2)，…］}．

对于对象之间的联系属性 R，则

(φ(R1))αTS(J)={αv(o)|#αv(o')|(αv(o)，αv(o'))φ(R)αTS(J)，αv(o')(πJ(C'))≥1}∩{αv(o')|#αv(o)|(αv(o')，αv(o))φ(R)αTS(J)，αv(o)(πJ(C'))≥1}．

根据类型表达式的结构，采用归纳法给出转换正确性的证明．

(1)对于ODMG面向对象模型TS的数据类型T，需要证明对于任意活动值vVJ，vTJ当且仅当αv(v)(φ(T))αTS(J)．对T的结构做归纳证明如下:

如果T为结构类型，即T=struct{A1:T1;…;An:Tn}，其转换公式 φ(T)=StruType ∀φ(A1)．φ(T1)∀=1φ(A1)… ∀φ(Ak)．φ(Tk)∀=1φ(Ak)，假设vTJ当且仅当 αv(v)(φ(T))αTS(J)(i{1，2，…，k})成立．

反过来，假设d=αv(v)(φ(T))αTS(J)，则对于i{1，…，k}，存在惟一的 diΔαTS(J)使得(d，di)(φ(Ai))αTS(J)满足并且 di(φ(Ti))αTS(J)，根据 αTS定义，有 v=［A1:v1，…，Ah:vh］(h≥k)和 vi=α-1(d)，根据假设vTj，有vstruct{A:T;…;viii11Ak:Tk}J．

也可以证明属性类型为文字构造类型的情形．

(2)对于深度为m的有限知识库模型φ(s)，定义合法的面向对象数据库状态βTS(I)如下:

βv是将解释论域ΔI|m的任意个体映射为数据库实例状态Vβts(I)的数据元素，并且满足条件:

①如果 Oβts(I)⊆Vβts(I)是 βv(d)中数据元素的集合，必有dAbstractClassI|m．

对于任意类 C，πβts(I)(C)={βV(d)|d(φ(C))I|m}．

ρβts(I)={(o，v)|βV(d1)=o，βV(d2)=v 且(d1，d2)valueI|m}．

λβts(I)={v|v(φ(T)I|m}．

下面首先采用归纳法证明对于任意面向对象数据模型TS中的数据类型T转换的原子概念φ(T)，有对任意dΔI|m，若 d(φ(T))I|m当且仅当 βV(d)

对任意结构数据类型 T=Stru(A1:T1，…，Ak:Tk)，转换成知识库的对应概念为φ(T)=StruType∀φ(A1)．φ(T1)∀=1φ(A1)… ∀φ(Ak)．φ(Tk)∀=1φ(Ak)，假设有 d(φ(Ti))I|m，当且仅当βV(di)TβiTS(I)时成立．进一步构造 βV(d)=［A1:v，…，A:v］(h≥k)，归纳假设vβ(di)TiβTS(I)有βv(d)TβTS(I)．

反之假设βV(d)TβTS(I)，即存在结构类型的数据库元素实例 βV(d)=［A1:v1，…，Ak:vk］(h≥k)且viTβTS(I)，归纳假设论域个体 di=βV-1(v)(φ(Ti))I|m(i{1，2，…，k})，根据 βV定义和 dStruTypeI|m及(d，di)(φ(Ai))I|m，由于每个属性φ(A)是函数，所以d(φ(T))I|m．

也可以证明属性类型为文字构造类型的情形．

2．3 ODMG面向对象数据模型的推理

ODMG面向对象数据模型的推理主要包括对象类型(类)的一致性、对象类型(类)包含、对象类型(类)等价和模式蕴含等推理问题．一般情况下，面向对象数据模型设计者需要通过手工对上述问题进行检测，但此方法存在推理效率和可靠性不高的缺点，完备性也得不到保证．下面首先给出ODMG面向对象数据模型的可满足性、包含关系、冗余性和蕴含关系的定义，然后对其推理正确性给出证明．

定义13 给定1个ODMG面向对象数据模型TS，C，C1，C2TS，存在1个合法的面向对象数据库的状态 OODS=(ΔOB，·OB)．

(1)如果π(C)≠Ø，则称类C是可满足的 (类可满足性);

(2)如果π(C1)⊆π(C2)，则称类C2包含类C1;

(3)如果C1⊆C2和C2⊆C1都成立，则称TS存在冗余;

(4)给定1个面向对象数据库模型TS'，并且TS和TS'有着相同的Signature，如果对TS的任意合法的数据库状态J，J也是TS'的合法数据库状态，则称TS 蕴含 TS'，记作 TS TS'．

下面给出类可满足性和类包含关系，模式冗余关系，模式蕴含的有关转化定理．

证明 先证明“⇒”．因为类C是可满足的，所以存在1个合法的面向对象数据库状态OODS=(ΔOB，·OB)，使得 π(C)≠Ø．由定理 1 可知，αTS(OODS)是φ(OODS)的1个模型，并且有π(C)=(φ(C))αTS(OODS)成立．因为 π(C)≠Ø，所以(φ(C))αTS(OODS)≠Ø，从而有 φ(OODS)⊨/ φ(C)⊥．

定理3 对于1个ODMG面向对象数据模型TS，C1，C2CS是TS中的类，φ(TS)是通过转化规则得到的ALCQI(D)的知识库，则C1≦SC2，当且仅当 φ(TS)⊨φ(C1)φ(C2)．

证明 首先证明“⇒”．假设 φ(TS)⊨/φ(C1)φ(C2)，则 φ(TS)存在1个模型I，使得o(φ(C1))I和o(φ(C2))I成立，其中 oΔI．再由定理 1 可得，βOODS(I)是1个合法的面向对象数据库状态OODS，并 且 有 (φ (C1))I= πβOODS(I)(C1)和(φ(C2))I=πβOODS(I)(C2)成立．由 o(φ(C1))I和o(φ(C2))I可知，C1≦SC2不成立，这与 C1≦SC2矛盾．所以 φ(TS)⊨/φ(C1)⊆φ(C2)．

再证明“⇐”．假设C1≦SC2不成立，则存在1个合法的面向数据库的状态OODS和1个对象实例o，使得 oπ(C1)和 oπ(C2)．由定理1可知，αTS(OODS)是 φ(TS)的 1个模型 I，且 π(C1)(φ(C1))αTS(OODS)，π(C2)(φ(C2))αTS(OODS)．由 oπ(C1)和 oπ(C2)可知，o(φ(C1))αTS(OODS)和o

这与 φ(TS)⊨φ(C1)φ(C2)矛盾．所以 C1≦SC2．证毕．

定理4 对于1个ODMG面向对象数据模型TS，存在2个类C1，C2CS，使得C1≦SC2且C2≦SC1成立，φ(TS)是TS通过转化得到的ALCQI(D)的知识库，则TS是冗余的，当且仅当

证明 首先证明“⇒”．由于TS是冗余的，可知存在2个类C1，C2CS，使得 C1≦SC2且 C2≦SC1成立．根据定理1可知，φ(TS)⊨φ(C1)φ(C2)和φ(TS)⊨φ(C2)φ(C1)成立．

再证“⇐”．如果 φ(TS)⊨φ(C1)φ(C2)和φ(TS)⊨φ(C2)φ(C1)成立，则根据定义7可知，C1≦SC2且C2≦SC1成立，从而TS是冗余的．证毕．

定理5 给定2个ODMG面向对象数据模型TS和 TS'，φ(TS)和 φ(TS')分别是 TS和 TS'通过转化得到的ALCQI(D)知识库，则TS⊨TS'，当且仅当φ(TS)⊨φ(TS')．

证明 首先证明“⇒”．对于任意的面向对象数据库状态OODS=(ΔOB，·OB)，由定理2 知，αTS(OODS)是φ(TS)的1个模型．由TS⊨TS'知，OODS也是 TS'的合法的面向对象数据库状态，从而由定理2知，αTS(OODS)也是 φ(TS')的模型．因此有 φ(TS)⊨φ(TS')．

再证“⇐”．对于φ(TS)的任意模型I，由定义5知，βOODS(I)是TS的1个合法的面向对象数据库的状态．由 φ(TS)⊨φ(TS')知，βOODS(I)是φ(TS')的1个模型．由定义4知，βOODS(I)是1个合法的面向对象数据库的状态．因此有TS⊨TS'．证毕．

例2 为了说明ODMG对象数据模型的自动推理问题，在文献［5］基础上，设计1个动画片公司类，用ODL语言描述对象数据模型如下:

(1)根据定义10的转化规则，在例1产生的知识库增加1条公理:

(2)利用以上公理及例1知识库中的公理:cartoonmovie，利用描述逻辑的推理机制，可以发现AnimationCompany和stdi之间存在如下关系，即An-imationCompanystdi．从而发现了数据库模式中潜在的对象类层次关系(定理3)．

3 小结

针对面向对象数据库的特点，结合ODMG面向对象数据模型的自动验证需求，在 CALVANESE等［7-8］的工作基础上，本文将ODMG面向对象数据模型转化成基于描述逻辑 ALCQI(D)知识库，将ODMG面向对象数据模型的可满足性、包含关系、冗余性、蕴含性等检测问题进行转化为知识库推理服务，并都给出其正确性证明．未来工作是开发ODMG TS的知识库转化工具和自动推理工具，自动完成对象数据模型相关自动验证．

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