李洪艳

摘 要:在平面几何的立体教学中,如何以新课标为指导,充分体现学生的主体地位,是当今教师必须思考的一个问题。因此,在几何探究式教学中,有必要对标准题进行重新设计。

关键词:平面几何 例题 重新设计 探究式 再发现 题尽其用

平面几何教科书中的很多例题因其具有凸显的典型性、启发性和代表性而被我们课堂教学所选用。但在例题教学中,仅仅由老师按照原题讲,学生听,展示其解法,难以充分发挥培养学生各项能力的作用。那么如何在新课程标准的指导下,以例题教学为契机,充分体现学生的主体地位,是当今我们必须思考的一个问题。基于此,在几何探究式教学中,有必要根据学生情况对教科书中的“标准题”进行重新设计,真正做到题尽其用,有效地促成教与学的促进。

今引用教学实践中对教科书中部分例题的处理方法,谈一下几何例题的重新设计问题。

一、设计“纵向加深型”例题,充分展示学生的再发现过程

案例1

原题:如图甲,AB∥B′A′,BC∥C′B′,CA∥A′C′,求证:(1)∠ABC=∠B′,∠CAB=∠A′,∠BCA=∠C′。(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点。

重新设计为:已知同原题,(1)观察图中有几个平行四边形,你是按照什么规律观察到的?(2)请你作△ABC的高AD所在的直线l₁,l₁是线段BC的中垂线吗?为什么?(3)又作△ABC的另外两条高BE,CF所在的直线l₂,l₃,你又会发现什么?(4)你能否指出并证明△ABC的三条高有关的一个结论?(5)证明命题“三角形三条高所在的直线共点”。简要说明你的证明思路。

课后回顾随想:第(1)问,重在使学生用科学方法认识几何图形(任意两组平行线相交均构成平行四边形)。纠正不注意发现规律,随意、随机观察图形的不良习惯,培养学生从组合图形中分离出基本图形的空间想象能力。第(2)、(3)、(4)问设计成层次递增的结论待定型的探究性问题,这些问题自然连贯,比较接近学生的思维发展区。在教师的引导下,大多数学生都有自己的“研究发现”:三角形三条高所在的直线共点。实践证明,这种“跳一跳再摘到桃子”的做法大大提高了学生的求知欲和几何问题的意识。问题(5)旨在使学生从整体上掌握本题的思维过程,提高学生的逻辑思维能力和逻辑表达能力。

二、设计“图形动态化”例题,培养学生的空间想象能力

案例2

原题:已知:如图乙,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2。求证:△ABD≌△ACE。

重新设计为:如图丙,△ABC与△ADE有公共角∠A,AB=AC,AD=AE,(1)线段EC与DB的数量关系是 。(2)今将△ADE绕点A沿“逆时针”方向旋转,当点E落在△ABC的内部时,画出图形,第一问的结论还成立吗?为什么?(3)在第二问的条件下,△ADE继续绕点A沿“逆时针”方向旋转,最终回到原来的位置,在整个旋转过程中,第一问的结论始终成立吗?为什么?

课后回顾随想:第(1)问是简单问题,给后继问题的提出做了有益的铺垫,所以第(2)问的出现马上使学生进入解题的应激状态,提高了学生的学习兴趣。在这种情景下完成第(2)问的教学,很容易达到原例题所预期的教学效果。第(3)问中所包含的几种情况的证明虽然与第(1)、(2)两问的证明区别不大,但这里渗透了几何变换的数学思想,渗透了分类讨论的数学思想,又通过△ADE在旋转过程中EC与DB的相等关系始终不变,渗透了“动中有静,变中有不变”的数学辩证观,从而有效地培养了学生的空间想象能力,使学生形成严谨的思维品质成为可能。

三、设计“一题多解型”例题,培养学生的发散思维能力

案例3

原题:画平行四边形ABCD,使∠B=45°,AB=2cm,BC=3cm。

课后回顾随想:几乎所有的学生首先想到的是课本中的做法,且知道作图根据是平行四边形的定义。于是对学生做如下启发:在此做法中使用了平行四边形的定义的判定功能,而未使用其性质功能,基于此本题还有无其他解法?同学们跃跃欲试,成功地发现了其他三种解法。我们认为,在例题教学中,题不在多而在精,浅题不“浅”,在浅题面前不浅尝辄止,是使学生走出题海的误区,培养学生发散思维能力的必要条件。

四、设计“合情猜想型”例题,提高学生的合情推理能力

案例4

原题:如图丁,⊙O半径为13cm,弦AB=24cm,则圆心O到弦AB的距离为 cm。

重新设计为:⊙O的半径为13cm,弦AB=24cm,动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,点P到达点B后即停止运动。(1)线段OP长度的取值范围是 。(2)满足OP为整数的点P的位置共有 个。

课后回顾与随想:第(1)问完全保持了原题所思考的知识内容,而第(2)问则渗透了用合情猜想解决问题的方法,合情推理是新课标考察的与逻辑推理并重的推理方法之一。在本例的教学中,可使学生深切体会和默认在点P的运动过程中,OP的长度是在5≤OP≤13的范围内连续变化的。正是由于对这种“连续变化”的、令人耳目一新的思考,使学生打破了逻辑推理的禁锢,体会到了合情推理在解决问题中不可低估的作用,同时促使学生在解决相关问题时,不把合情推理这种顺情入理的思维方式拒之门外,大大增强了学生合理选择推理方法的意识,可有效地促成学生形成良好的思维品质。

五、设计“阅读型”例题,提高学生的自学能力

这类题一般由教师自行设计,通过阅读能揭示解题思想方法的课外资料或教师设计的短文,使学生解答与之有关的复杂问题。教学实践证明,在学生有一定的知识存储的情况下,解决一些复杂问题时,采用“学生先练习,有困难读资料,教师点评”这种以学生活动为主的教学方法的效果大大优于“老师讲,学生听”的效果。因此,“阅读型”例题的设计和运用为提高学生的自学能力、培养学生的自学意识提供了保障,也充分体现了发现法教学的要求和师生角色的转化。

总之,几何例题的教学设计是一个复杂而富有艺术性的工作。但毋庸置疑,从培养学生的能力角度出发,必须进行几何立体的优化设计。作为教师,如果能在新教学理念的指导下,以例题教学为突破点使学生步入几何殿堂的大门,则足以证明新的教学理念给我们带来了无穷的教学智慧。

工作单位:河北省昌黎县赤洋口初级中学