1原题呈现

如图1，四边形ABCD 中，AB=CD ∠ABC+∠BCD=270^∘. （1）求 ∠A+∠D 的度数；（2）连接 AC ，若 ∠ACB= 45^∘ ，求证： BC²+2AC²=AD²

（3）E，F 分别为线段BC和 AD 上的点， G 是线段 EF 上任意一点，且 ΔGAB 和 ΔGCD 的面积相等，过点 D 作 DH⊥EF ，交直线 EF 于点 H ，连接 AH .若AD=4 ，求 AH 的最小值.

2试题分析

（1）根据四边形的内角和求解即可.

（2）平方和一般与勾股定理相结合，而 BC，AC 与直角三角形没有联系，解题陷入僵局.此时，分析条件与前面的结论是调整思路的一个策略.由 AB=CD ，∠BAD+∠D=90^∘ ，我们可以考虑以 CD 为边作一个新三角形与 ΔABC 全等.于是过点 D 作 DG⊥AC 交AC 的延长线于点 G ，在 DG 的延长线上截取 DF= AC .连接 CF ，易证得 ΔABC≅ΔCDF ，则 ∠F= ∠ACB=45^∘ CF=BC ，从而 根据 AG²+DG²=AD² ，可以得到 ，进一步得出结论.

第二种解题思路，构造全新的直角三角形，使其三边分别等于 .怎样实现这一目标？将 ΔACD 绕点 c 顺时针旋转 90^∘ 得 ΔECF ，连接 AE ，AF ，得到 ΔAEF ，则 EF=AD ；再证明四边形 ABCF 为平行四边形，则 AF=BC ；由旋转容易证得等腰直角三角形 CAE ，则 问题获解.

（3）考虑到 ∠A+∠D=90^∘ ，延长 AB，DC ，交于点 X ，可得 ∠AXD=90^∘ ，审视已知条件 AD=4，AD 所对的角是不变的，容易作出 RtΔADX 的外接圆，从而得出点 X 在以 AD 为直径的圆 o 上运动.根据ΔGAB 和 ΔGCD 的面积相等， AB=CD ，结合三角形面积，可知 AB，CD 边上的高相等，进而由“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理，推出 EF 在∠AXD 的角平分线上.设 EF 交圆 O 于点 W ，运用圆的性质“同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，可推出 W 是半圆弧 AWD 的中点.进一步运用圆的性质、等腰直角三角形、辅助圆等，得 进而推出点 H 在以DW为直径的圆 I 上运动，连接AI ，交 ⨀I 于点 H ，则 AH 最小，解三角形 ADI ，进一步得出结果.

3试题解答

（1）解：在四边形 ABCD 中，

： ⋅∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360^∘， ∠ABC+∠BCD=270^∘，

： ∴∠A+∠D=360^∘-（∠ABC+∠BCD）=90^∘. （204号（2）证法一：如图2，过点 D

作 DG⊥AC 交 AC 的延长线于点

G ，在 DG 的延长线上截取 DF=

AC ，连接 CF ： ∠DAC+∠ADC ∠CDG=90^∘ ，∠BAD+∠ADC=90^∘， ·∠CDF=∠BAC

又 AB=CD ，

！ ⋅ΔABC≅DCF（SAS）

·∠F=∠ACB=45^∘，CF=BC.

（20号