通过对一道几何填空题的多解探究，帮助学生挖掘几何图形中的基本几何模型，探寻解题之思维路径，以开阔学生解题视野，培养学生的发散思维及创新能力等[].

1问题再现

如图1，半圆 o 的直径 AB=5 ，AC，AD 为弦，且 AC=3，AD 平分∠BAC ，则 AD 的长等于

2解题策略探秘

策略一勾股定理法

在几何问题中，求线段的长是最基本的问题.求线段长最常用的方法就是勾股定理法，即设法构造直角三角形，让所求线段成为直角三角形的一边，然后利用勾股定理求解[2].

解法1：如图2，连接 BC，BD .OD，OD 与 BC 交于点 G .因为 AB 是直径，所以 ∠C=∠ADB=90^∘. 因为 AD 平分 ∠BAC ，所以

根据垂径定理的推论，得 OD 垂直平分 BC. 因为直径AB=5 ，所以半径 .因为点 α_O，G 分别是 AB ，中

BC的中点，所以 OG 是△ABC的中位线，所以 OG= .在Rt△ABC 中，AB=5，AC=3，由勾股定理，得 BC=4 ，所以 BG=2 因为 DG=OD-OG=1 所以在 RtΔBDG 中，由勾股定理，可得 .在RtΔABD 中，由勾股定理，得

点评：本题在连接三条线段后，图形中出现了7个直角三角形.求线段长时，三次利用了勾股定理，这三次利用勾股定理具有一定的先后顺序，前一次利用勾股定理求得的结果是后一次利用的基础.

解法2：如图3，连接 BC，BD，OD，OD 与 BC 交于点 G ，过点 D 作 DH⊥AC 交 AC 的延长线于点 H 由解法1可知， ∠C=∠ADB=90^∘，OD 垂直平分

BC，DG=1，CG=BG=2. 所以四边形CGDH是矩形，所以 CH=DG= 1，DH=CG=2 ，于是可得 AH= AC+CH=4 在 RtΔADH 中，由勾股定理得

点评：解法2与解法1相比，少用了一次勾股定理，但使用了矩形的判定与性质.解法1以 AD 为直角三角形的直角边，求 AD 的长，而解法2以 AD 为直角三角形的斜边，求 AD 的长.

策略二轴对称法

角是一个轴对称图形，遇到角平分线，过角平分线上的一点作两边的垂线段，可……