浙江省湖州市滨湖高级中学(313000) 郑梦华

近年,概率与统计题在新高考中的比重及难度都有所上升,2023 年新高考全国Ⅰ卷中甚至以马尔科夫链为背景出现在压轴题.在2023 年湖州市教师专业考试中,概率与统计题又是一道以马尔科夫链随机游动模型为背景的试题,在考试过程中,笔者选择了“向左”方向,在与其他老师探讨时发现不少老师考虑的方向也是错误的“向左”,基于此,笔者在思考该方向到底错在哪里? 其他马尔科夫链模型问题是该选择哪种思考方向? 此时不免反思实际教学中该如何教会学生正确的思考方向,如何落实学生的核心素养,由此,得到一些建议与反思.

1 原题呈现

题目1 (2023 年湖州市教师考试第20 题)甲、乙两人进行象棋比赛,赛前每人发3 枚筹码.一局后负的一方需将自己的一枚筹码给对方;若平局,双方的筹码不动,当一方无筹码时,比赛结束,另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知,在一局中甲胜的概率为0.2、乙胜的概率为0.3.

(1)第一局比赛后,甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望;

(2) 若Pi(i= 0,1,2,3,4,5,6) 表示“在甲所得筹码为i枚时, 最终甲获胜的概率”, 则P0= 0,P6= 1.证明:{Pi+1−Pi}(i=0,1,2,3,4,5)为等比数列.

试题分析 试题第(1)问求随机变量的分布列及其数学期望,属较易题,本文不再赘述.第(2)问其背景是双侧吸收壁的随机游走模型,考查的高中知识为全概率公式、贝叶斯公式及递推数列求通项公式,考查学生的数学抽象与逻辑推理核心素养,解决该试题的关键是将文字语言转化为数学语言.

2 追本溯源

2.1 问题背景

定义 (马尔科夫链) 状态空间为有限集或可列集的随机过程{Xt,t= 0,1,2,···}, 若对于任何一列状态i0,i1,···,it−1,i,j,Xt满足性质

则称Xt为马尔科夫链,简称马氏链.对于任意时期t,若条件概率与初始时点无关,即P(Xt+1=j|Xt=i)=P(X t+2=j|Xt+1=i),则称Xt为具有时间齐次性的马尔科夫链.

考虑x轴上的一个质点,假设只能处于整数点,当t= 0时x=i(i ＞0),每隔一个单位时间,它受到外力作用使得位置变化,假设单位时间后到达i+1 的概率是p,到达i −1 的概率是q,还在i的概率为1−p−q,在x=0,x=M(M ＞i)处均有吸收壁,即质点到达x= 0 或x=M就不再游动,这个模型称为带有两侧吸收壁的随机游动模型.

2.2 教材背景

溯源1 (2019 人教A 版选择性必修三第81 页第3 题)一个质点在随机外力的作用下,从原点O出发,每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位,共移动6 次.求下列事件的概率.

(1)质点回到原点;

(2)质点位于4 的位置.

溯源2 (2019 人教A 版选择性必修三第91 页第10 题)甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1 次由甲将求传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率.

2.3 高考背景

溯源3 (2023 年新高考全国Ⅰ卷第21 题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下: 若命中则此人继续投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1 次投篮的人选,第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2 次投篮的人是乙的概率;

(2)求第i次投篮的人是甲的概率;

(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1−P(Xi= 0) =qi,i= 1,2,···,n,则记前n次(即从第1 次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).

以马尔科夫链随机游走模型为背景的的高考真题还有许多,例如2020 年江苏卷第23 题、2019 年全国Ⅰ卷理科第21 题.因此,研究高考真题与教材是教师和学生最重要的教学策略之一.

3“向左”还是“向右”

例1 同题目1.

(2)的解析 (“向右”,由已有的“甲有i个筹码”考虑可能发生的事件预测下一次的结果.) 设事件Ai表示“在甲所得筹码为i时,最终甲获胜的概率”,事件B表示“下一局甲获胜”,事件C表示“下一局双方平局”,事件D表示“下一局乙获胜”,由题意可知事件B,C,D两两互斥.

思考1 该方法是由本局的结果,即“甲有i枚筹码”,通过下一局比赛的所有可能从而预测出下一局的结果,笔者不免思考,为什么不能考虑由上一局比赛情况得到本局的结果,于是便有下述“向左”错解.

错解 (“向左”,由已有的“甲有i个筹码”考虑已确定的上一次的结果.) 设事件Ai表示“在甲所得筹码为i时,最终甲获胜的概率”,事件B表示“上一局甲获胜”,事件C表示“上一局双方平局”,事件D表示“上一局乙获胜”,由题意可知事件B,C,D两两互斥.

思考2 从代数的角度来看“向左”和“向右”都是正确的,但是为什么最终的答案“向左”和“向右”答案不同呢,从条件概率深究条件概率的本质便能发现其中的问题.设事件Mi表示“甲有i个筹码”,则上述两种解析中的

在“向右”中事件代表甲有BMi个筹码且下一局甲获胜, 即甲有i+ 1 个筹码, 即为事件Mi+1, 所以P(AiB) =P(B)pi+1.但是“向左”错解中事件BMi代表上一局甲获胜且此时甲依然有i个筹码,所以该式本质上就是pi= 0.2pi+0.5pi+0.3pi.基于条件概率公式和贝叶斯公式便有下述终解.

终解 设事件Mi表示“甲有i个筹码”则pi=P(M6|Mi) 为甲有i个筹码时甲最终获胜的概率, 事件B表示“在一局比赛中甲获胜”,事件C表示“在一局比赛中双方平局”,事件D表示“在一局比赛中乙获胜”,易知事件B,C,D两两互斥.因为每局比赛中事件B,C,D不受当时比分影响,即B,C,D和Mi相互独立,即P(B|Mi)=P(B),P(C|Mi)=P(C),P(D|Mi)=P(D).由条件概率公式和全概率公式可得

P(M6C|Mi)=0.5pi,P(M6D|Mi)=0.3pi−1,则

即

易证数列{pi+1−pi}为等比数列.

例2 (2020 年高考江苏卷第25 题)甲口袋中装有2 个黑球和1 个白球,乙口袋中装有3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2 个黑球的概率为pn,恰有1 个黑球的概率为qn.

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn+qn与2pn−1+qn−1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).

第(2)问递推关系式解析 (“向右”,由已有的“第n −1次操作后的所有结果”考虑可能发生的事件来预测下一次操作后的结果.)

记事件An表示“n次操作后甲口袋有2 个黑球”,事件Bn表示“n次操作后甲口袋有1 个黑球”,事件Mn表示“n次操作后甲口袋有0 个黑球”,事件C表示“一次操作中甲乙均取白球”,事件D表示“一次操作中甲取白球乙取黑球”,事件E表示“一次操作中甲取黑球乙取白球”,事件F表示“一次操作中甲乙均取黑球”.

对于事件An,只需考虑n −1 次操作后甲口袋恰好2 个黑球随后事件C发生、n −1 次操作后甲口袋恰好1 个黑球随后事件D发生,即

对于事件Bn,只需考虑n −1 次操作后甲口袋恰好2 个黑球随后事件E发生、n −1 次操作后甲口袋恰好1 个黑球随后事件C或F发生、n −1 次操作后甲口袋恰好0 个黑球随后事件D发生,即

即得递推关系式为

思考4 该试题背景是没有吸收壁的马尔科夫链随机游动模型,上述解析以“第n −1 次操作后的所有结果”考虑可能发生的事件来预测下一次操作后的结果,该轮完整的操作还应考虑n −1 次操作后甲口袋恰好0 个黑球时下一次的结果,即

错解 (“向左”,由“第n −1 次操作后的所有结果”考虑可能发生的事件得到第n −1 次操作后的结果)对于事件An,只需考虑下一次操作只可能事件C或E发生,即

对于事件Bn,只需考虑下一次操作可能事件C,D,E,F发生,即

思考5 上述错解字面看似无懈可击,但是回到条件概率的定义,例如P(BnC)表示第n操作甲乙均取白球且Bn−1发生的概率,但是qn可以来源于n −1 次操作后甲口袋2 个黑球且下一次事件E发生、n −1 次操作后甲口袋有1 个黑球且下一次事件C或F发生、n −1 次操作后甲口袋有0 个黑球且下一次事件D发生,即所以上式本质上就是从“n −1”到“n −1”,即

不符合马尔科夫链随机游动问题的预测特点.

4 总结和反思

例1 是一道带有双侧吸收壁的马尔科夫链随机游动问题,例2 是一道不带有吸收壁的随机游动问题,马尔科夫链模型本质上是一个预测模型.文章追溯其问题来源、教材来源并深究全概率公式、贝叶斯公式的本质,证得该类问题“向右”方向才是正确的,即应该是通过“某次比赛的所有结果”考虑下一次所有情况从而预测“下一次的所有结果”,如例1中错解“向左”是从“已知的第i局比赛后结果”得到“已经确定的第i −1 局后的结果”,例2 中错解是从“第n −1 次操作后的结果”得到“第n −1 次操作后的结果”,均不符合马尔科夫链问题的预测作用.

教育部《普通高中数学课程标准》修订组组长王尚志教授提出,中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养.通过该试题的思考,我认为在高中数学课堂中,要更多地以学生视角去考虑问题的解法,不能思维定式地将自己的想法灌输给学生,尤其是当某个错解很多时,更应该引导学生深究其错在哪里,同时对于某一类问题,可以适当引导学生建立数学模型,并总结出其共性、共解,从而提高学生的核心素养.