贵州师范大学数学科学学院(550025) 徐凤旺 成 敏

1.试题呈现与解析

题目 (2024 届福建省高三第一次调研考试试题)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD,弦AB、CD的中点分别为M、N两点.

(1)求证: 直线MN必过定点E,并求出这个定点E的坐标;

(2)若弦AB、CD的斜率均存在,求ΔFMN面积的最大值.

分析 这是2024 届福建省高三第一次调研考试的圆锥曲线压轴题,此题有两个问.其中,第(1)问是直线过定点问题,定点、定值问题是高考圆锥曲线试题中常考的热点问题之一;第(2)问是求三角形面积的最值问题.此题内涵丰富,具有一定的探究价值,下面首先将对试题进行解答,然后得出圆锥曲线中几个一般性的结论.

证明 (1)由已知可得a2= 4,b2= 3, 所以c2= 1,即F(1,0).

评注 第一问求直线过定点问题利用的是常规的求解圆锥曲线问题的通性通法;第二问将ΔFMN的面积分成了两个三角形的面积之和,最后通过换元法,引入变量u,结合函数的单调性,即可求出三角形面积的最值.试题的探究是在给定的椭圆中来进行求解,那么在一般的椭圆中,是否会有类似的结论成立呢? 结论是否可以推广呢? 下面进行探究.

2.结论推广

(1)直线MN恒过定点

评注 结论2 和结论3 的证明过程与结论1 中的第(1)问的证明方法类似.其中, 只需要将结论1 中第(1)问的证明过程中的“b2”换为“−b2”,结论2 即可得证.以上的结论都是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的焦点在x轴上的情形,大家不妨可以类比探究圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的焦点在y轴上的情形.

结束语 一道有意义的数学题的求解,为解决此题所花的努力和由此得到的结论和见解,能够帮助我们对问题本质的把握,提高分析问题和解决问题的能力[1].在每一年的高考试题中,很多的圆锥曲线试题的内涵比较丰富,值得我们对此进行深入的探究.在教学的过程中,要注重试题的通性通法的讲解,争取达到“做一题,会一类”的教学效果.