广东省佛山市石门实验学校(528200) 李辉义

安徽师范大学数学与统计学院(241002) 曹明响

1 问题背景

题目1 (第二届“友谊杯”国际数学邀请赛试题) 设a,b,c ∈R+,求证:

题目2 (第36 届国际数学奥林匹克竞赛试题) 设a,b,c ∈R+,且abc=1,求证:

2 预备知识

引理[1](切比雪夫不等式)

3 问题的探究与推广

探究1 对题1 从项数和指数方面进行推广,得到了以下定理

定理1 设ai(i= 1,2,···,n)＞0,p≥q ＞0,n≥2,

推论1 设a,b,c ＞0,p≥1,有

推论2 设ai(i=1,2,···,n)＞0,n≥2,有

显然推论1 和2 是定理1 的特例,下面证明定理1

证明 不妨设a1≥a2≥···≥an,则有

从而由切比雪夫不等式有

即有

注意到题设有p≥q ＞0, 由切比雪夫不等式有SqSp−q≤nSp,即有

注: 当n=3,p=q=1 时即为著名的Nesbitt 不等式.

探究2 对题2 从项数和指数方面进行推广,得到了以下定理.

由n −2 元均值不等式可得,

于是有

注意到题设有p≥(n −1)q ＞0,即有p −q≥(n −2)q ＞0,从而由定理1 有