◇宝鸡文理学院数学与信息科学学院 段景瑶 高 茜

直和是两个子空间的一种特殊关系。直和与线性空间中的诸多概念都有紧密联系。本文以北京大学研究生入学考试中的一道高等代数问题入手，给出了维数法，同构法，和元素分解法，并对不同解法和教学方法进行了分析和拓展。

高等代数是数学专业学生考研的必考科目。有关线性空间的证明是高等代数中的一个重点，也是难点，还是研究生入学考试中的常考题目。本文以北京大学研究生入学考试，高等代数科目中的一道证明题为例，给出直和的多种不同的解法。这些解法反映出直和与线性空间中同构等抽象概念的关联，能帮助读者更为深刻地理解直和的概念。

1 基础知识

2 直和证明的三种不同方法

例1是文献4中，1999年北京大学研究生入学考试中，高等代数科目的一道证明题。原题有3问，本文列出了前两问，并针对第（2）问直和的问题给出了三种不同解法。

3 分析与拓展

直和与很多概念都有联系，例如在证明线性变换的核与值域的直和等式时，可以将维数法简化。

线性空间的直和分解是线性空间理论的重要一环。线性子空间的直和是和空间的一种特例，要求和空间中的元素在子空间中的分解式是惟一的。在教学中要注意以下几点。首先，直和的概念比较抽象，利用几何空间的不同分解式，借助数形结合的教学方法比较直观地引出直和的定义，有利于学生对基本概念的理解和掌握。……