王昌如

江苏省宿迁青华中学

直线与圆锥曲线题型灵活多变,难度较大.为提高学生的解题能力,为其数学水平的提升奠定坚实的基础,教学中应注重相关题型以及解法的汇总、讲解,使学生遇到相关习题时,能够迅速破题,增强解答直线与圆锥曲线问题的自信.

1 直线与圆锥曲线位置问题

判断直线与圆锥曲线的位置关系,需要将直线和圆锥曲线方程联立,转化成一元二次方程,借助Δ进行判断.同时,还应注重灵活运用向量知识判断直线与直线的位置关系.另外,如题目中未提示直线斜率是否存在,解题时还应注重分类讨论,不遗漏任何满足题意的情境,保证考虑问题的全面性.

(1)求k的取值范围.

(2)由题意,不妨设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

①

2 直线与圆锥曲线弦长问题

求解圆锥曲线的弦长问题,需通过直线和圆锥曲线方程的联立整理成一元二次方程,借助根与系数的关系表示出弦长,而后运用已知条件构建等式进行求解.另外,若能求出直线和圆锥曲线的交点坐标,则可直接运用公式求出两点间的距离.

例2已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F且和x轴不垂直的直线l和抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且y1y2=-4.

(1)求抛物线的方程.

(2)直线l和y轴交于点D,探究:AB和FD的长度是否相等?若相等,求出直线l的方程;若不等,说明理由.

所以抛物线的方程为y2=4x.

(2)由(1)可得直线l的方程为y=k(x-1),将其与抛物线方程y2=4x联立,消去y并整理,得

k2x2-2(k2+2)x+k2=0.

而Δ=16(k2+1)>0恒成立,则有

3 直线与圆锥曲线定值问题

求解直线与圆锥曲线的定值问题,应结合已知条件,通过联立直线与圆锥曲线方程,借助一元二次方程根与系数的关系,对要求解的定值表达式进行化简.如表达式中带有参数,为保证其为定值,应注意将带参数的部分消除.

解析：假设在x轴上存在这样的一点M(m,0)满足题意,设A(x1,y1),B(x2,y2).

当直线AB的斜率存在时,设对应的直线方程为y=k(x+1).

①

②

将①②代入上式,可得

4 直线与圆锥曲线最值问题

解决直线与圆锥曲线的最值问题,通常通过联立直线与圆锥曲线的方程,表示出要求解的最值,而后运用函数或均值不等式知识求解.需要注意的时,在设出参数后,应结合已知条件确定参数的取值范围,保证取到最值时符合题设情境.

例4已知抛物线C:x2=2py(p>0),焦点与准线的距离为2,直线l和抛物线交于A,B两点,过点A,B分别作抛物线的切线l1,l2.l1和l2交于点M.

(1)抛物线的方程;

(2)若l1⊥l2,求△MAB面积的最小值.

根据题意,直线l一定存在斜率.设直线l的方程为y=kx+m.与抛物线方程联立,消去y并整理得x2-4kx-4m=0,当Δ=16k2+16m>0时,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4.

所以m=1,则直线l的方程为y=kx+1.

联立l1,l2的方程,可求得M(2k,-1).

当k=0时,△MAB面积的最小值为4.

直线与圆锥曲线题型具有较好的区分度.教学中应结合具体例题,为学生剖析不同题型的解题方法.同时,组织学生开展针对性的训练活动,鼓励学生做好解题总结与反思,把握不同题型的解题规律以及破题技巧,使其真正攻克这一难点题型.