喻立杨 赵一凡 王先义

四川省双流中学

2023年高考全国甲卷数学试题紧跟党的二十大精神,贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,促进五育并举,反应新时代基础教育课程理念,突出体现了高考“一核四层四翼”的评价要求.试题延续了注重基础性、考查必备知识的传统,突出关键能力和学科素养的考查,尤其是数形结合能力和数学直观素养.

总体上,本套试卷有以下几个特点:

①通过恰当的背景,落实五育并举,如第6,9,19题;

②创设合适的情境,考查关键能力,如第1题集合,第2题复数,第9题计数等;

③设置丰富的试题,注重直观想象,如第4题向量,第11,18题立体几何等;

④猜想验证相结合,注重逻辑推理,如第20题解几,第21题导数等.

1 试题评析

1.1 精简试题情境,传达五育精神

与往年的命题情境相比,2023年显得更为精简.常见的考题情境包括生活情境、科学情境以及纯粹的数学情境,试卷中第6,9题为生活情境,19题为科学情境,其余考题均是纯粹的数学情境.总体感觉题目“短小精悍”.其中,第6题以报名足球与乒乓球俱乐部为情境,传达了体育教育;第9题以志愿者参加社区服务为情境,传达了德育以及劳动教育;第19题以探究药物的作用为情境,也传达了德育以及劳动教育.

总之,试卷既传达了五育并举的教育要求,又回归了对数学学科本身的考查.

1.2 突出素养导向,落实学科价值

根据高考评价的要求,必备知识、关键能力、学科素养、核心价值是高考考查的四个层次的内容.同时,发展学生的学科素养也是教学的重要目标.试题对学科素养的考查充分突出.

例1(第1题)设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集,则U(A∪B)=( ).

A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z}

C.{x|x=3k-1,k∈Z} D.∅

本题虽考查集合的运算,但渗透了分类思想,蕴含“同余”概念.终边相同的角的集合中蕴含着同余思想,故该考题源于教材.此题要求考生从集合的“符号语言”中抽象概括集合的含义,故本题是考查数学抽象的典型试题,体现了描述法表示集合的优势,即高度抽象.

例2(第2题)若复数(a+i)(1-ai)=2,则a=( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

本题考查复数代数形式的运算,考点单一,不难求出a=1,是考查数学运算的典型试题.本题不考别的,只考运算,精准命题,目标明确,体现一个“准”字.

例3(第7题)“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的( ).

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

本题以同角关系为背景,考查常用逻辑用语中的充分条件与必要条件,是考查逻辑推理能力的典型试题,体现一个“隐”字.

数列解答题也能充分体现逻辑推理.

例4(第17题)已知数列{an}中,a2=1,设Sn为{an}的前n项和,2Sn=nan.

(1)求{an}的通项公式;

第(1)问中,当n≥2时降阶相减得到(n-2)an=(n-1)an-1,接下来无论用累乘法,还是转化为常数列,都需要把n-2作为分母,因此n=2需单独处理,n≥3时才能把n-2作为分母,可见试题用隐蔽的细节鉴别考生逻辑推理能力,体现了一个“隐”字.

例5(第9题)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( ).

A.120 B.60 C.40 D.30

例6(第19题)略.

本题以探究某药物对小鼠的生长作用为情境,给出了对照组和实验组各20只,共40只小鼠的体重数据,在第(2)小题中要求考生求出这40个数据的中位数.不少考生表示“眼睛花了”“头大了”.事实上,考题中两组数据都已按照从小到大的顺序排好,考生抱怨可见其数据处理能力不足.数据处理作为数学核心素养之一,要求考生既掌握原理,又做好实践,考生的表现说明数据处理核心素养的培养任重道远.本题体现一个“理”字,数据处理,落脚在“理”.

上面例子呈现了考题对数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模、数据处理核心素养的考查,考查的内容相对单一,注重基础性,体现应用性.

1.3 重视数学直观,区分关键能力

直观想象也是核心素养之一,对数学直观的考查是本卷的亮点和重点,本卷中体现数学直观的考题较多,综合性强,具有创新性.

体现数学直观的试题有15道,超过了试题总量的一半,涉及众多章节,按总分160分算占106分(选做题第22题、23题二选一,各10分),占比66.25%,这些题目构成试卷的主体,决定试卷的考查效果,罗列如下.

由表1可见,试卷高度重视数学直观.不少试题可以直观“秒杀”,也有虽不能秒杀,但可以“猜想”,然后通过逻辑推理证明猜想,其模式可概括为“直观先行,推理为本”.

表1

表2

注意到a+b+c=0,如图1,由和向量为零向量构造“闭合回路”△PQR,根据三边长知,△PQR为等腰直角三角形,建系写坐标即可秒杀此题.画图方式不唯一,但不画图用公式算其运算量大,而且计算时抽象空洞.此题体现了数学直观的重要性,完美呈现了式与图、数与形的美妙互译.

图1

A.1 B.2 C.3 D.4

得到y=f(x)的解析式后,只要图象(如图2)画得标准,就可以直接看出交点个数为3,秒杀此题,也可以借助计算关键点处的函数值,通过比较大小推理验证猜想.本题隐蔽地考查了“作图”能力.

图2

例9(第18题)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距离为1.

(1)证明:AC=A1C.

(2)若直线AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

如图3,本题中CA,CB,CA1两两垂直,以它们为x,y,z轴建系,看似方便,但由于CA,CB,CA1长度未知,关键点坐标不能直接写出,陷入困境.设坐标A(a,0,0),B(0,b,0),A1(0,0,c),其中a,b,c均大于0,通过待定系数法虽然也能解题,但是字母运算让人心存敬畏.

图3

本题两个问题均以距离作为已知条件,在历年的试题中是少见的,需要考生通过降维把“空间距离”转化为“平面距离”,实现立体图形的“平面化”,在平面多边形中计算关键数据.借助空间平行、垂直的相关定理,通过转化,可知△A1CA是等腰直角三角形,△A1BA是等腰三角形.若能够实现上述转化,就能看透该几何体的结构特征,简化求解过程.本题对数学直观的要求较高,区分度很好.

此题用坐标法、综合法都能求解,但都不简单,可谓“一举两得,一题多考,方法取舍见高下”.

作为试卷中难度较高的如下两道解答题,通过数学直观也能很快得出猜想.

如图4,如果过点F任意作两条相互垂直的直线,得到四边形MNM′N′被对角线分为4个符合题意的直角三角形,直观察觉,当M,N都在点F左侧时,三角形的面积较小,猜想当△MNF为等腰直角三角形时面积最小,从而迅速入题.

图4

证明时,可以用坐标法,但运算量大;若用焦半径的夹角公式,运算量会极大降低.这体现了几何直观的优越性.

本题既要埋头算,更要用眼看,体现一个“悟”字,真是直观先行,推理为本.

本题利用以下两种直观感知可得出猜想.

图5

另一种是端点效应,切线与曲线的相互近似代替.

图6

以上两种直观方法都能求出必要条件,但都需要验证充分性,只需要放缩即可.

本题将三角函数与一次函数整合,利用导数工具研究其性质,难度较高,但通过直观感知不难获得猜想,既可以用直观放缩转化,也可以用直观端点先行,体现一个“活”字,降低了难度.

2 反思与建议

2.1 深挖问题,就题论道

从2023年高考全国甲卷中可以发现,试题背景熟悉,问题常规自然,考查内容基础,主要考查考生对相关问题的通性通法的掌握,此类问题占比超90%,例如理科第17,18题的数列和立体几何,亦是对相关问题通性通法的考查.“背题型,背套路”的刷题本质上是没有理解“套路”背后的原理,考生一旦遇到题目“化妆”(如第18题已知距离,证明线段相等),就不容易找到解题策略.因此,在平时的复习备考中,学生不仅要掌握基础知识和训练基本技能,也要能够挖掘知识的广度、深度以及表达;不仅要掌握其中的套路,更要逐渐内化成数学思想和方法,获得活动经验,实现从“解题”到“解决问题”,从知其然到也知其所以然,达到从“就题论题”到“就题论法”再到“就题论道”,让试题价值最大化,实现“做一题,得一法,会一类,通一片”.

2.2 立足课堂,落实素养

试卷中诸多试题可以利用数学直观巧妙破解,但这需要考生通过日常的学习养成直观想象的习惯和意识.美国著名的教育家杜威说:“教学必须从学习者已有的经验开始,学生是学习的主体,是课堂的主人,一切教学都是为了学生的发展.”学生是课堂教学的主体,课堂作为日常教学的主阵地,占据学生学习的大部分时间,是学生活动、思维、实践和创新的关键战场,因此这是扎实学生基础知识,培养、锻炼和塑造学生能力,养成必备的数学素养的重要战场,需要教师在日常教学中关注学生,因材施教,对学生进行整体和个性的教育,从而促进核心素养的落实.

2.3 关注命题,科学备考

新高考命题模式对一线教师来说是一个挑战,需要深入研究新高考试卷特点与命题动向.2023年新高考全国卷在考试内容改革、题型创新、试卷结构以及科学调控难度方面作出了进一步探索.在内容改革上,以新课标为命题依据进行命题,仍然突出对理性思维和关键能力的考查,通过设计真实问题情境,融合数学文化,渗透德智体美劳的育人理念,全面贯彻“立德树人”的教育方针.在题型创新方面,坚持开放创新,能力立意,在考查内容不变的情况下,改变问题的类型和考查要点.在试卷结构方面,大题布局变化较大,破除导数压轴的定势,如新Ⅰ卷第19题导数,再次验证了“反刷题”;坚持以新教材为依据进行命题,坚持考教衔接,如新Ⅰ卷第3,10和21题等.在科学调控难度方面,全面贯彻“低起点,多层次,高落差”策略,部分试题设计科学,起点低,入口宽,面向全体学生,考查基础知识,个别试题对考生的思维能力有较高的要求,要求学生具备解决复杂问题的综合素养.这些特点和趋势为我们在“三新”背景下,关注新教材教学,科学平稳过渡新高考提供了极有价值的信息.