丁学智

安徽省铜陵市第三中学

高中数学教材例(习)题往往是每年高考数学命题的一个重要脚本,回归教材本源,合理挖掘教材例(习)题的各个方面,基于数学问题场景、数学知识结构与数学思想方法等,全面构建相应的数学知识网络体系,架构数学基础知识之间的巧妙链接与综合应用,形成数学能力,合理渗透并应用到高考命题中去.

1 高考真题呈现

此题通过两角差的三角函数值、两单角三角函数值的积来设置问题场景,利用两角和的二倍角的三角函数值的求解来创设问题,是高考中三角函数求值问题的一种基本题型与综合应用.

三角函数求值的几种常见类型:“给角求值”“给值求值”“给值求角”等.解决问题的基本思路就是建立题设条件与所求结论之间函数值、函数名、角、运算式等要素之间的联系,结合相关的三角函数公式加以合理变换与转化,从而实现函数值、角等的求解与应用.

2 真题破解

解法1：两角差的正弦公式法.

故选:B.

解法2：积化和差公式法.

故选:B.

解法3：换元法.

故选:B.

解后反思：涉及三角函数中的“给值求值”问题,借助题设条件,方法1中从两角差的正弦公式入手来变换,解法2中从积化和差公式的应用来转化,解法3中从整体换元思维来切入,进而利用三角函数关系式的变形与转化,结合二倍角公式来分析与求解.其中解法1是最为常见的解题方法,也是解决问题的“通性通法”,需要加以熟练掌握.而借助思维视角的改变,也有其他相关的技巧方法可以达到求解目的.

3 追本溯源

追本溯源,该题是在高中数学教材的课后习题的基础上,依据数学基础知识,从命题形式、条件转化、结论设置、能力提升与综合应用等方面,开拓数学思维,改变对应问题的设置,从而实现问题的应用.

习题〔人民教育出版社2019年《数学》(必修第一册)第五章“三角函数”第229页习题5.5第9题〕

(1)sinαcosβ=5cosαsinβ;

(2)tanα=5tanβ.

该教材习题通过sin (α+β),sin (α-β)与sinα·cosβ,cosαsinβ之间的关系,合理设置已知条件与所求结论,以证明的方式来创设,是三角函数求值的另一种表达方式,达到三角函数求值的综合应用目的.

以上教材习题的证明过程与技巧方法,可以参照上文原高考真题的解析过程,这里不再展开.

其实,涉及三角函数求值的综合应用问题,是高中数学的一个重要知识点,也是各级、各类考试中的一个基本考点,难度一般比较简单或中等.

4 变式拓展

A.cos (α-β)=-1 B.sin (α-β)=0

分析：根据题设条件,抓住给出的三角函数关系式的两边比较工整,且均是两角正弦值(或余弦值)的和式特征,可以直接利用三角函数的和差化积公式加以转化,利用三角函数关系式的恒等变形,并结合角的取值范围来分析与判断所给结论是否成立.

故选:D.

5 教学启示

5.1 熟练掌握公式,把握常规方法

解决三角函数求值问题的关键,就是充分挖掘题设条件与所求结论中的函数值、函数名、角、运算式等要素之间的联系,结合同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式以及解三角形中的相关定理等进行巧妙的“变”——变角、变名、变式,如图1.

图1

由题设条件入手,到所求结论为止,构建联系,合理求“变”,化归与转化,实现三角函数值的求解.

5.2 落实教材本源,探寻问题内涵

脚踏实地,认真研究和学习高中数学教材中的基础知识与相关的例(习)题,从数学知识根源上去深入、研究、理解、掌握,充分把握数学基础知识的基本内涵与实质,以不变应万变,这才能真正发挥高中数学教材的最大作用.

我们知道,高中数学教材的基础知识与对应的例(习)题等相关内容,都具有其他数学教学参考书、习题集等所不可替代的作用和教育教学功能,具有典型性,起到总结成功经验与标杆等方面的作用.教师要合理引导学生深入领会高中数学教材中对应例(习)题所展示出来的知识内涵与命题意图,并加以研究和开发,合理追根溯源.真正达到“双减”的目的,减少所谓的“补充内容”,减少资料书的使用,真真切切地做到为学生减负,同时又能够增加学生动手、动脑等方面的能力,提高学习兴趣,是一举多得的好事情*.