李俊玲 冯男 许建强

摘 要：针对“数值分析”课程的特点，依据我校应用型人才的培养目标，结合MOOC和线上线下教学的优势，本文提出了基于应用的线上线下混合式教学模式。该模式采用应用案例驱动教学过程，同时融入丰富多样的线上活动和分组任务。实践表明，这种教学模式能增强学生的数学应用意识，培养学生的数学应用能力，增强教学效果，提高学生的综合素质。

关键词：应用型本科；数值分析；混合式教学；线上线下

应用型本科教育逐渐成为高等教育重要的组成部分，作为我国第一所以“应用技术”命名的高水平创新型大学——上海应用技术大学一直致力于培养具有过硬本领的高素质应用创新型人才。

“数值分析”是高等院校数学专业的核心课程，也是许多工科类专业的必修课，是利用计算机解决数学问题的理论和方法。相比其他数学课程，“数值分析”与实际应用联系更紧密，更注重方法的可行性和计算效率，是一门典型的学以致用课程。随着教学改革的不断深入，传统的教学方法、教学手段已然发生变化。这就要求教师要与时俱进，不断提高自身的教学创新能力，改进教学方法。改革的实质是用智慧教育来取代传统教育［1］，为了更好地完成应用型人才的培养目标，我们着力于把传统的线下教学和在线学习的优势结合起来，采用线上线下混合式教学模式［23］，并选取中国大学MOOC平台上东北大学的国家精品课程“数值分析”进行线上辅助教学。

1 教学目标和课程设置

结合上海应用技术大学建设高水平应用技术大学的办学宗旨，紧密围绕应用型人才的培养目标，重视理论知识和基本机能的教学，注重培养学生的实践能力，设定本课程的教学目标：（1）知识学习，使学生掌握科学计算中算法设计的基本思想和理论依据，为学生在结合计算机解决实际问题方面打下理论基础；（2）实操实练，通过上机实验，使学生掌握各种数值算法的构造原理和过程分析，培养学生算法设计能力；（3）学以致用，通過参加课内实践和数学建模竞赛等相关科技创新活动，培养学生利用已有理论知识和算法设计方法解决实际问题的能力；（4）价值观引领，通过在课堂中加入适当的思政教学［4］，鼓励学生“脚踏实地、知行合一”的做人原则。结合上述培养目标，课程设置为64课时，其中48课时理论授课，16课时上机实验。

2 基于应用的线上线下混合式教学设计

为实现应用型人才的培养目标、增强学生的数学应用意识、培养学生的数学应用能力［5］，在教学过程中，考虑以应用作为驱动，学生带着需解决的应用案例参与整个线上线下的学习过程，最终完成案例的求解。此外，结合课程内容的难易程度，对数值分析实施分层教学，变革教学结构，提升教学质量；设置分组任务，让学生主动参与整个教学过程，激发学生内在的潜力和自主学习的动力，更好地适应学生的学习习惯、学习特性，促进学生自主探究、合作交流、归纳总结，获取更好的教学效果。

因此，本文提出基于应用的线上线下混合式教学模式，该模式在每一个专题内容讲授前，首先给出若干个待求解的应用案例。然后将课程内容依难易程度分为两部分，一部分是课程的基础、一般难度和扩展部分；另一部分为课程重点、难点和应用案例部分。接下来分层开展教学，第一部分以学生观看视频自主学习为主，采用线上观看MOOC或录课视频、参与线上课堂活动和测试、线上复习和答疑的形式；第二部分采用线上预习、线下授课和线上互动相结合、线上复习和答疑的形式。两部分内容最后都回到相应知识点应用案例的求解，做到从应用中来，到应用中去，让应用贯穿这个教学过程。下面给出具体的教学设计过程。

2.1 教师推送资源

根据教学大纲预设的教学目标及学生学习情况，教师在线上教学平台发布教学资源，包括针对本次课的教学内容制定的相对应的PPT、MOOC章节和录课视频、本次课的重点和难点亟待解决的应用案例。

例如，在讲授“Lagrange插值”课题前，先发布三个应用案例。

案例1 借助下表给出7的近似值。

案例2 已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：

深度（M）46674195014221634

水温（℃）7.044.283.402.542.13

根据这些数据，希望合理地估计出其他深度（如500米、600米、1000米等）处的水温。

案例3 图像放大。

图1给出图像放大的示意图，即已知原图1（a），现要求放大3倍后的图像（b），即根据图1（a）中已知的9个点处的像素值来求图1（b）中未知点处的像素值。

这里案例1和案例2可应用本课题内容完成，案例3则是本知识点的拓展应用，旨在引导学生进行从一维拓展到二维的进一步思考。

2.2 学生分组，线上自主学习

学生分组后，针对自主学习的部分，带着需解决的应用案例观看指定章节的MOOC视频或录课视频，参与各项线上课堂教学活动，尝试对应用案例给出求解思路，完成课后测试。最后整理完成相关知识点的自主学习报告，同时将学习过程中遇到的问题反馈给教师。

2.3 线上活动

讲中有练，练中有思。无论学生自主学习还是线下课堂教学，都借助在线教学平台按照不同需求和目的设置了抢答、投票、随堂练习、选人、主题讨论等丰富多样的活动，如表1所示。教师特别设置一些与待解案例相关的题目，启发学生将所学理论知识和待解案例联系起来。

对较难问题采用投票的形式，可有效避免学生因怕答错而不敢作答的情况。学生可按照真实情况作答，无论对错都可获得课堂活动积分，这样有助于教师了解学生的真实掌握情况。

2.4 分组任务

作为过程化考核的一部分，在教学过程中设置了三种类型的分组任务。

一类是章节思维导图。在章节结束时，学生分组完成本章内容的思维导图，对章节内容的进行整理总结，同时录制讲解视频或音频。这有助于学生理清章节内容的知识网络，从而建立属于自己的数学知识体系。

一类是学习报告。针对线上自主学习的内容学生分组完成学习报告，对相应的知识点或算法总结整理。报告内容包括：这个问题是什么、为什么提出这个问题、如何解决这个问题［6］、这个方法可以用在什么问题中等。例如，对线性方程组的直接解法章节中的三对角方程组的追赶法，学生需就什么是三对角方程组、为什么要考虑三对角方程组的求解、三对角方程组的追赶法是如何求解的、该方法能应用在哪些实际问题中等问题完成学习报告。教师应鼓励学生对所学知识点进行自发总结、深入思考、主动拓展，理清所学知识的来龙去脉，同时录制讲解视频。

第三类是实践课的编程问题。学生综合应用所学知识，完成实践题目的程序求解，可以使学生得到数学建模、程序设计、分析数值结果、写实验报告等环节的综合训练，为后续参加数学竞赛和解决实际问题打下良好的基础。

2.5 线下课堂教学

线下课堂教学主要分两种形式，一种以教师讲授重难点知识为主，针对学生反馈的问题，通过PPT+板书等形式给出问题背景，给出严谨的数学推导过程，激发学生探讨和提出问题。板书讲授基本理论，PPT形象展示相关示意图、结果等。最后回到应用案例的讨论和求解，以学生讨论、教师总结的方式给出案例求解的基本思路和具体过程。例如，在“Lagrange插值”专题，讨论总结后给出前述案例1和案例2的求解过程，对案例3教师在启发学生讨论后给出该专题在二维情况下的求解思路，供学有余力的同学课后进一步学习。

另一种以学生分享学习成果为主，学生将分组完成的思维导图、学习报告和程序实践问题在课堂上做汇报，梳理所学知识并整理講述，教师总结点评。这些分享交流变“听教师讲”为“自己讲”或“听同学讲”，激发学生参与竞争、向同伴学习的意识，提高学生的临场反应和口头表达能力，为将来毕业设计和工作打下基础。

2.6 课内线上测试

最后十分钟，对本次内容进行测试，检验学生的听课情况和知识点的掌握情况。题目设置为比较基础的类型，以选择、填空、判断等客观题为主，认真预习和听课的同学基本可以正确完成。随堂测验题目通过学习通等平台直接批改，教师下课后就可以对学生知识掌握情况了然于胸。

2.7 课后线上作业

课后，教师对每堂课的教学情况通过学习通等平台布置个性化作业，以主观题为主，主要是当堂知识的应用，学有余力的同学可挑战另设的有难度梯度的附加题。学生通过移动端设备接受消息，在规定的时间内完成作业并及时提交。对不太会的题目，学生可以通过MOOC或学习通等平台反复观看相应视频，加强对未掌握知识点的进一步理解。如果仍没有理解相关内容，学生可通过学习通等平台和教师进一步沟通。教师通过移动端设备批改学生作业，并根据学生作业完成情况，录制某些难题的讲解视频或在讨论区发布作业中存在问题的讨论。对课后测试和作业中错误较多的题目，教师着重进行分析和讲解，及时发现学生的薄弱环节，弥补不足，不留知识盲区。

2.8 课后拓展资料推送

为了激发学有余力的学生进一步学习、深入思考，教师在各章节后增设了相关知识的拓展、参考资料或考研题目。例如，在Lagrange插值小节，给出多元Lagrange插值的几种常见方法；Hermite插值小节，给出Birkhoff插值问题提出的背景和求解方法；在三次样条小节，给出了贝塞尔样条的定义和应用实例。

2.9 学生成绩评定

为提高学生全程参与教学过程的积极性，加大学生总成绩中过程化考核占比，将过程化考核权重设为40%，期末考试权重设为60%。其中，过程化考核包括出勤（5%）、作业（15%）、课堂活动积分（10%）和分组任务（10%）。每个考核环节都制定相应的考核标准，最后综合所有考核成绩计算出每个学生的总成绩。

结语

在应用型本科教育背景下，融合线上线下教学优势，结合我校应用型人才的培养目标，本文提出基于应用的线上线下混合式教学模式。该模式以学生为主体，以应用为驱动，通过丰富多样的线上课堂活动和分组任务等诱导学生发问、思考、总结和讲评，从而提升教学质量，改善教学效果，培养学生的综合素质。

参考文献：

［1］陈素琴，陈雄达，王琤.传统教育到智慧教育融合阶段的计算数学专业课程教学改革与探索［J］.大学数学，2020，36（1）：3744.

［2］何志学.线上赋能线下混合式教学模式探讨［J］.计算机时代，2021（3）：9396.

［3］魏晓峰.分析化学实验慕课国家精品课程线上线下的混合教学模式［J］.化工教研，2021（2）：4950.

［4］邵新慧，冯男，史大涛.基于课程思政的数值分析教学探究［J］.辽宁教育行政学院学报，2020（5）：2729.

［5］许建强.数学实验与数学建模课程教学改革与实践［J］.高师理科学刊，2018（38）：5962.

［6］李俊玲，安玉莲.“数值分析”课程教学改革的思考与建议［J］.教育现代化，2019（24）：6264.

基金项目：2021年上海高校市级重点课程（10110M 231008A22）

作者简介：李俊玲（1980— ），女，汉族，山西平遥人，博士研究生，讲师，从事数值计算、数学建模等研究。