范俊辉,庄智涛

（华北水利水电大学 数学与统计学院,河南 郑州 450046）

随机矩阵最早由数学家Wishart 提出,是指元素为随机变量的矩阵,文献[1-3]介绍了有关随机矩阵的基础知识。 随机矩阵理论主要研究随机矩阵特征值（或奇异值） 的概率行为,其研究结果已经应用于许多领域,如计算数学、机器学习、优化理论等。 次高斯分布是应用中常见的一类重要分布,文献[4-6]介绍了次高斯和次指数实随机变量,并给出了一些实随机变量的集中不等式。 Vershynin[7]给出了次高斯实随机矩阵的算子范数估计。 上述研究都是在实空间中进行的,并未给出复空间中的情况,而在相位恢复[8-10]、Fourier 光学[11]等领域,复随机矩阵的应用更加广泛,因此研究次高斯复随机矩阵的算子范数估计具有重要意义。

本研究首先将实随机变量的性质推广到复随机变量,然后在此基础上给出次高斯和次指数复随机变量的集中不等式,最后利用ε-网技术对次高斯复随机矩阵的算子范数进行估计。

1 复随机变量的集中不等式

本节将给出次高斯和次指数复随机变量的定义,将次高斯和次指数实随机变量的性质推广到次高斯和次指数复随机变量上去,并在此基础上证明Bernstein 不等式和Hoeffding 不等式。 下面给出次高斯和次指数复随机变量的定义。

定义1一个复随机变量Z=X+ iY（X、Y都是实随机变量） 的次高斯范数为若Z的次高斯范数是有限的,则称它是次高斯的。

定义2一个复随机变量Z的次指数范数为若Z的次指数范数是有限的,则称它是次指数的。……