张红梅，尹江华

（1.湖南工业大学 理学院，湖南 株洲 412007；2.株洲欧科亿数控精密刀具股份有限公司，湖南 株洲 412008）

1 研究背景

薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。薛定谔方程已被广泛应用于理论物理、核物理、等离子物理、电磁波理论、化学、光学工程、地震学等领域之中。但对于这些实际应用中的大量复杂问题，用经典的解析方法和实验研究方法大多难以求解。随着计算机技术的快速发展，数值解法已成为其另一重要且有效的求解方法。薛定谔方程是耦合方程组，它还涉及复函数，采用经典的离散方法在单层网格下离散原方程所得的离散系统，通常规模较大，耗费大量的计算时间。因此，构建快速的数值解法十分必要。

有限体积元算法除了处理边界灵活、计算简便外，还能够在一定程度上保持物理量的局部和全局守恒性。这些性质使得有限体积元算法成为一种重要方法。近年来，学者们分别采用不同的有限体积元算法求解椭圆方程[1]、Navier-Stokes 方程[2]、扩散方程[3]等。

在求非对称问题或非正定问题的有限元解时，提出了两网格离散算法[4]，并将该算法应用到求解非线性边值问题[5]、Navier-Stokes 问题[6]、流体问题[7]等。随后，两网格有限元算法又被成功地应用于求解耦合方程组[8]，并进行了一系列的推广与应用[9-12]。在上述研究的基础上，C.S.Chien 等[13]采用两网格差分法求解非线性薛定谔方程组；Wu L.[5]用两网格混合有限元算法求解非线性薛定谔方程组。……