胡紫婷,王家林,

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)

0 引言和主要结果

是Xi的伴随矩阵.

近年来,关于Heisenberg群上退化次椭圆p-Laplace方程弱解的正则性研究已取得丰富的成果,见文献[1-4]及其参考文献. 然而,关于Heisenberg群上退化次椭圆p-Laplace方程组的正则性研究较少见,最近,Zheng和Feng在文献[5]中研究了Carnot群上一类次椭圆p-Laplace方程组,建立了p仅在2附近取值时弱解的Hölder连续性,p在其它区间取值时,尚无结果,主要的困难是缺乏一个有效的工具来解决Heisenberg群上水平向量场的非交换性以及次椭圆p-Laplace算子的退化性等问题. 早在2005年,Duzzar和Mingione在文献[6]中研究了欧氏空间的p-调和映射,通过p-调和逼近技巧导出衰减估计并建立了其弱解的C1,α正则性,可见p-调和逼近理论对弱解的正则性研究是一个十分有效的工具.为此,本文在Heisenberg群上建立相应的p-调和逼近定理,这对进一步研究Heisenberg群上退化次椭圆p-Laplace方程组弱解的正则性起着重要作用.

本文的主要结果如下:

定理1设

若对于任意ε>0,都存在一个正常数δ(n,N,p,ε)∈(0,1]有

(1)

时,则存在p-调和函数h∈HW1,p(Ω,N),使得

1 Heisenberg群基础知识

Heisenberg群Hn=2n+1定义群乘法为:其中x=(x1,t)=(x1,…,xn,y1,…,yn,t),y=(y1,v)=(xi+1,…,xi+n,yi+1,…,yi+n,v).零元素为(0,0),并且(x,t)的逆元为(-x,-t),其相应Lie代数的一组基向量场为:关于Lie括号满足:[Xi,Xn+i]=-[Xn+i,Xi]=T,[Xi,Xj]=0和[T,T]=[T,Xi]=0,其中矢量X被称为水平梯度,T被称为垂直导数.

定义1设f是Rn上的局部可积函数,则极大函数f可被定义为:M(f)(x)=sup{∮B(x,r)f(y)dy∶r>0}.

2 相关引理

本节重点引入一些与向量场相关的基本引理.首先回顾Sobolev嵌入不等式和Poincaré型不等式,具体证明参考文献Garofalo-Nhieu[7], Lu[8]和Nagel-Stein-Wainger [9].

‖u-ux,R‖Lq≤C‖Xu‖Lp,

(2)

(3)

其中当1

引理4[12]设f∈Lp(Rn),1

‖M(f)‖p≤C‖f‖p.

(4)

下面,利用文献[13]的思想,在Heisenberg群上建立如下结果……