赖烨辉,黄慧英,彭绍婷,胡文玉

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)

0 引言

低秩矩阵填充问题是指基于矩阵的低秩特性,利用已知的部分元素合理精确地将未知元素进行填充.具体来说,给定不完整数据的观察矩阵Y∈m1×m2,矩阵填充问题可转化为求解如下优化问题[1]:

(1)

其中X∈m1×m2是待恢复的准确数据,Ω表示与观测数据元素对应的位置集合.

然而,由于秩函数的非凸性和不连续性,上述秩极小化问题是NP-难问题.因此,秩函数通常被核范数替代.然而,作为一种凸的近似替代函数,核范数极小化结果通常会偏离实际秩极小化的结果,这是因为核范数无差别地将X的所有非零奇异值相加,造成矩阵的大奇异值被过度惩罚,而在实际秩极小化问题中,所有非零奇异值都受到等量对待.为了克服上述问题,研究人员选择用非凸替代函数来近似秩函数,从而获到了更好的实验结果.例如,Gu等[2]提出了基于加权核范数的极小化问题(Weighted Nuclear Norm Minimization, WNNM),其利用加权核范数代替核范数作为模型的低秩惩罚项,降低了对大奇异值的惩罚度;Chen等[3]提出使用对数范数代替核范数作为模型的低秩惩罚项,进一步降低对大奇异值的惩罚度.

上面提出的方法都需要计算完整的奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD).在处理大规模数据时,SVD需要大量的计算成本和时间,这限制了它们在处理大规模问题时的适用性[4].为了解决这个问题,研究人员提出了基于低秩分解的矩阵填充方法.例如Cabral等[4]提出了……