刘桂娟,张 文,†,徐会林,阮周生,黄泽权

(1.东华理工大学 理学院,南昌 330013;2.赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)

0 引言

考虑径向热传导问题如下:

(1)

(2)

本文所设置的反问题为:通过终止时刻数据u(r,T)=g(r)来反演源项f(r).

针对源项识别的反演问题, 应用非常广泛, 例如在污染源的识别、锅炉内部温度的探测、雷达探测等等领域都发挥着重要作用.时间-分数阶扩散方程可以用于描述超扩散和亚扩散现象[1-2].由于反问题是不适定的,需要选择合适的正则化方法才能得出精度较高的近似解,国内外众多学者进行过这方面的研究,并得出了许多有益的研究结论.例如文献[3-6]用简化的Tikhonov方法、谱方法、Landweber方法和拟逆法对α=1时的问题(1)进行正则化求解,文献[7-8]分别用分数阶Tikhonov迭代法和平稳迭代加权的Tikhonov正则化方法对0<α<1的问题(1)进行正则化求解.而对于大规模的不适定问题,迭代的正则化方法比经典的正则化方法更加受欢迎[9],文献[10]首次提出了分数阶正则化方法,而后文献[11-14]介绍了分数阶Tikhonov正则化方法和分数阶Landweber正则化方法,文献[15]提出了修正的分数阶迭代正则化方法,文献[9]则采用梯度流将分数阶Tikhonov正则化方法和分数阶Landweber正则化方法结合,提出了分数阶Tikhonov-Landweber迭代正则化方法,该正则化方法可以避免出现经典迭代方法的过平滑问题,且迭代次数较少.

文章结构如下:引言部分,介绍本文所研究的问题以及国内外研究现状;第1节讨论正问题解的表达形式,并进一步引出反问题;第2节分析反问题解的不适定性,分别给出了先验和后验误差估计;第3节通过列举两个数值算例说明算法的有效性;第4节总结了全文所研究内容.

1 正问题的解

(3)

(4)

则存在一个线性自伴算子K∶f→g,算子K的奇异值可以表示为

(5)

(6)

(7)

(8)

2 反问题解的不适定分析

由于反问题是不适定的,拟采用分数阶Tikhonov-Landweber迭代法进行求解.首先,回顾分数阶Tikhonov-Landweber迭代法的演变过程.

分数阶Landweber迭代法的滤波函数[13]为:

(9)

其中:0<β<1/‖K‖γ+1,正则化参数为α=1/m;分数阶Tikhonov迭代法的滤波函数[12]为:

(10)

利用梯度流的方法[9],通过参数θ将分数阶Landweber和分数阶Tikhonov迭代法进行结……