张庆月

（天津理工大学，天津 300384）

伴随着网络、信息技术的不断发展，互联网、大数据等技术已应用到高等数学教学领域[1-5]。这让传统的教学模式迎接机遇的同时面临着挑战。在人类改造自然的活动中，很多问题都可以转化为数学模型的方式进行研究进而得以解决。高等数学在传统教学模式的束缚下，制约教师培养学生的知识应用能力、逻辑和思维，留下教育培养的缺陷。且新冠感染疫情的特殊背景下，高等数学教学不得不转向线上教学，在网络平台上拓展高等数学教学空间[6]。这要求高等数学课程需要运用现代教学技术，与线下的实体课堂教学结合起来，开展教学活动，培养学生的创造性思维和实践运用能力。

一 高等数学教学现状

学生基础知识掌握不牢固，自主学习意识低迷。高中阶段，数学教学大多采用题海战术、练习出成绩的应试教学模式。学生在教师的指挥下，终日埋头题海耕耘题库，无暇思考数学与生活的关系，思维僵硬，更没有养成主动思考问题的习惯。这导致学生自主学习数学的意识较为单薄，主动运用数学解决生活实际问题的意识薄弱甚至缺乏。进入大学，学生依然用惯性的思维、固定的逻辑来学习高等数学，不免远离生活实际，又耗时伤神，事倍功半。无形中，这种思维模式在煎熬学生学习高数的自信心，减损学生学习的热情。

教师教法单一、死板、单调。互联网迅速发展的今天，传统的高等数学课堂仍然是“PPT+课堂+粉笔”的教学模式。高等数学的课堂，以教师讲授为主，甚至讲授贯穿始终。“灌输式”“填鸭式”教学是高等数学经常采用的模式。课堂上，学生往往是紧跟老师教学步骤，忙着形成课堂笔记，被动地学习知识，无暇深入的思考与理解。在有限的课堂时间内，师生之间缺少知识点方面的交流与探讨。用课件上课，虽然可以代替粉笔，减免板书，似乎存在着节省课堂时间的优势，但也存在弊端。PPT 演示过快，学生不能迅速牢固地理解知识点，更无暇记录笔记，只能拍照留存材料。课后，慧心善学的同学或许能拿出课件照片寻找知识点前后之间的联系，仔细思索一番。懒惰的同学则存有侥幸心理，抱着“明日复明日”的态度得过且过，忙向其他的“当务之急”。留存的课件照片也就随之进入了手机记忆模式，或许直到考试之前，学生“急来抱佛脚”时才能重见天日。课件演示过慢，给同学们留足了时间思考问题得出结论、形成课堂笔记，但在有限的教学时间内，影响教学效率最大化，甚至无法完成教学任务。从高等数学学科的角度衡量，这种方式不能最大效率地发挥教师针对知识点的细致系统的讲解。教师也不能及时掌握学生对知识点的理解运用情况。传统的教学则是教师板书示例、推导公式、证明习题，毕竟书写占用较多的课堂时间，且不能长久保存，坐在教室后排的学生容易受到影响。由此可见，传统的教学模式不利于培养学生的自主学习意识，也不利于培养学生对高等数学学习的兴趣，也不能因学生的个体差异而灵活地调整教学策略。

学生结业评价方式注重成绩。传统教学对学生的评价中，比例最大的部分是测试成绩。有部分学生为60 分而学习，为测试过关而学习，为获取一纸毕业证书而学习。因此，具有这种学习动机的学生是被动地参与到教学活动中来。临近考试，急抱“佛脚”的学生们，翻出埋入历史的笔记或照片，或者死记硬背，或者临阵磨枪，甚至准备小抄，企图考场作弊，蒙混过关。这样的学习方式不能真实地反映学生的学习能力。

二 混合式教学模式分析

在这样的时代背景和教学现状下，作者提出了混合式教学模式，并实践到教学中去[7-9]。混合式教学把网络公开课、微课等线上教学理念与课堂教学相结合，将网络软硬件资源化为课堂教学资源，应用于教学当中，是在信息技术应用于教学并促进教学改革背景下产生的一种整合在线学习与传统课堂学习，是有效实现双主体的互动教学模式。这种教学模式，灵活地运用时间和空间，既有利于学生知识点学习与掌握，又利于学生将思考与疑惑、学习的灵感记录下来并与师生交流。同时，这种教学模式也能使教师及时了解学生知识点的掌握情况，为学生解疑答惑，及时调整教学策略和计划，促进课堂教学效率的提升。这种教学模式调整了传统的教学模式，同时又保留了高等数学课的特点。

这种混合式教学模式下，课堂中师生的重心产生了变化。传统的高等数学课堂中，教师是课堂的主导者和占有者，全程定义课堂的程序和内容，决定课堂内容的复制删除和进退变化。学生是知识的被动接受者，被动地跟着教师的步骤和思路，全盘接受教师讲授的公式推导、定理证明和练习题。混合式教学模式中，学生成为了课堂的中心实践者，主动地学习本次课的知识点，积极探索重点，深入研究难点，自觉地产生疑惑，从而形成创新思维。教师则从课堂的主导者和知识的传授者转变为引导者和合作者，指导学生学习模块的先后顺序、程序设置，引导学生层层深入地掌握知识体系，启发学生形成思维，带领学生将高等数学融入生活、联系工程，探讨并解决生活中的实际问题[7]。课堂则从“一言堂”转变成了师生时空交流、探讨问题的场所，成为学生形成思维、发现问题、创新解答的阵地。

这种混合式教学模式下，课堂学习的程序也有所变化。传统的教学课堂，是在教师的引导下，学生按部就班地学习知识点。随着教师教学内容的深入，学生收获的内容也从点到线，再逐渐积累成面。面面结合，最后形成知识体系。混合式教学模式下，教师先将有关的教学视频、PPT 等材料发送给学生。学生可在课前完成本次课的预习，不仅预知将要讲授的内容，还可以知晓自己存在的困惑。这就为课堂中学生探讨、研究准备了必要条件。课堂主要是学生谈收获、谈疑惑、生生交流。在师生交流中，学生自然而然地探索高等数学联系生活的奥秘，解决生活中的实际问题。由此可见，传统教学模式是师教生学，生惑师解，而混合式教学模式则是生学生思，生惑同解。

这种混合式教学模式以网络、电脑和手机等设备为依托，充分发挥了线上教学的灵活性、时空性，又能增加学习高等数学的趣味性，调动学生学习的自主性、积极性和热情。在课前充分准备的基础上，线下交流的实体课堂中，学生能够集中精力，探讨研究，豁然开朗的同时，生发创造性思维。线上教学与线下教学共同开展，相互补充，相辅相成。经过一年的教学实践，这种教学模式显现出了良好的教学效果。

三 混合式教学模式的具体操作流程

教学内容应选取简单或者难度适中的知识点。这样，以学生的知识积累为出发点，明确教学目标，标识重点难点，才能充分体现学生学习的自主性和积极性。

（一）课前——线上自主教学

课前教学材料准备：PPT、微视频和文字材料。

PPT 要求：①由生活中的实际问题导入，这能激发学生的共鸣，引导学生迅速地进入情境。②知识点学习步骤设置由浅入深，由易到难，层层深入又环环相扣。③适当设置动画，增加课堂生动、鲜明的同时，留给学生思考的空间。④给学生设计课堂探讨的问题，不宜过难。

微视频要求：①时长在20 分钟左右，可一次性录制，也可多段录制。②画面、文字和符号清晰。③选用比较小的视频格式。

文字材料要求：①列出所需要的书籍、练习册等资料名称。②列出所要学习的知识点。③展示出学习目标、重点和难点。④写明学习步骤。

自学内容都是较为基础或难度适宜的知识点，学生自主学习能够独立完成。知识点的选择忌多、忌难，以保护学生学习的积极性。教师将这些材料推送给学生之后，随时了解学生自学的情况，预设课堂交流探讨的问题，思考并准备课堂教学需要的材料。

（二）课堂——集中探讨，针对性讲解

学生通过课前自学，对课堂即将讲授的内容已有一定的认知与理解，也能够确定自己学习的收获与疑惑。课堂中，学生就可以有选择的学习，准备材料参与探讨内容，各抒己见。在了解学生自学情况的基础上，教师有针对性地引导学生探究知识点，适当地调整详简难易的程度与步骤。教师可适时抛出探讨的问题，也可引导学生提出研究的问题。在师生交流、生生沟通中，教师营造探究氛围，引导学生提出解决具体问题的方案，联系实际，联系生活。到此，教师可依据学生探究的情况设置课后练习题，以巩固当堂知识点的理解与运用。

（三）课后——检测答疑

为有效加强学生对知识点的理解，课后的巩固与答疑是十分必要的。有针对性地答疑，不仅可以帮助学生解决当前困惑的问题、补齐短板，还可以启迪学生的思维，坚定学生善学善思的意志，提升学生学习高数的信心。教师可设定固定的时间在固定的场所，为学生答疑解惑。如此，学生可将积累的疑惑与教师面对面地交流探讨。同时，教师还可以借助多种互联网平台，例如腾讯、微信、雨课堂等平台跨越时空和地域，与学生时时处处共同学习探究。

（四）阶段型——知识点系统化

在前三个阶段的程序完美执行后，学生对每个知识点的理解已经较为深刻。高数课堂是知识、理论联系生活的中转站。但有时单一的知识点未必能解决与之相关的生活实际问题，而是需要几个前后相应的知识点有机联系起来，融会贯通，系统地形成一个模块，这样才能正确地应用到生活中的问题。如此，学生就需要一个时间，将一个模块内的知识点系统化，需要老师引导学生寻找各小知识点间的联系、前后铺垫关系，需要教师指导学生认识知识点中部分与整体的镶嵌与交织，理解整个模块的应用范围与功能，从而实践到生活中。

四 混合式教学模式教学实践

（一）以曲率的讲解为例

课前教学材料准备：PPT、砂轮打磨动画视频和文字材料。

文字材料：由曲率的定义、弧微分公式、曲率的计算公式和曲率半径的计算公式兴趣导入，引出教学目标为在实际工程设计问题中，常用砂轮将某一平面物体边界打磨成符合要求的曲线，如图1 所示。给定曲线后，应该选择直径多大的砂轮？

图1 砂轮直径的选择

这和曲线的弯曲程度有关。显然，对于图中曲线，A砂轮是不合适的，应该选择B 砂轮。那么就需要解决以下两个问题：

1）应该怎么刻画曲线的弯曲程度？

2）应该怎么根据曲线的弯曲程度选择合适的砂轮？

课堂集中探讨：学生在回顾曲率的定义、弧微分公式、曲率的计算公式和曲率半径的计算公式的基础上，通过动画演示——怎样将平面物体的边界打磨成给定的曲线。进入课堂集中探讨的问题：怎样将一空间物体的边界打磨成给定的曲面。教师适时点拨，学生总结：解决方法是将给定曲面分解成若干条曲线，然后把各条曲线打磨出来。教师从旁指导，引领学生由浅入深，由易到难，层层深入。

课堂检测练习题：

反馈答疑：

如图2 所示，受力分析F=Q-P，视飞行员在点O 作匀速圆周运动，所以F=（N），其中ρ 为O 点处抛物线轨道的曲率半径。因此

图2 飞机飞行路线

Q≈700 N+5 714 N=6 414 N。

答：飞行员对座椅的压力为6 414 N。

（二）以无穷级数收敛性讲解为例

课前教学材料准备：PPT、Koch 雪花生成过程图片和文字材料。

文字材料：由部分和序列的概念引出教学目标为无穷级数的收敛性，最后通过Koch 雪花生成过程图片给出无穷级数收敛性的例子。如图3 所示。

图3 Koch 雪花的生成过程

Koch 雪花的生成方法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称地产生边长为原边长1/3 的小正三角形。如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch 雪花”。

结论：雪花的周长是无界的，而面积有界。

五 混合式教学模式反思

将互联网技术融合到课堂教学，采用混合式教学模式，将新元素、新感官融入课堂，不仅能够进一步提高课堂教学质量，而且实现了翻转课堂，还能增加课堂的新鲜感，很大程度上提高学生对高等数学学习的主动性，有助于打造精彩高等数学课堂目标的实现。这种教学模式也并非完美，需要一分为二地认识它的利与弊。运用这种教学模式时需要应注意以下问题。

（一）不是所有高等数学的教学内容都适用混合式教学模式

教学内容中较为简单，易于同学们自学的教学内容是这种教学模式的首选。对于这些内容，学生们具有自学的基础，经过思考能够展开计算，得出结论。教师备课时要思考知识点的独立性、难易程度、前后联系等，以便选择的知识点能有助于教学效率的最大化。较难和全新的知识点适合于线下师生面面讲授。

（二）交流的课堂，是学生发挥主动性、探索新知的阵地

混合式教学模式中，教师的作用在于启发学生思考的方向，指导学生步步认知、环环思考，细致演算，引导学生得出正确的结论。课堂，教师应耐心地听取学生们的交流探讨，琢磨学生思考的出发点和逻辑，在关键点适时点拨。课堂不再是教师的“领地”，而是学生训练思维、培养创新意识的场所，是学生自觉探索、形成结论的阵地。

（三）这种教学模式不能保证调动所有学生学习高等数学的积极性

部分学生读大学是为通过一纸证书获取理想的工作，所以读书的初衷不在学习，又谈何学习高等数学的兴趣。再者，还有学生为了获取平时成绩而学习。所以，在学业评价体系中，教师应适时设置简单的测验，以成绩督促学生更好地投入到高等数学的学习中去。

六 结束语

紧跟时代发展的步伐，依据高等数学教学现状，本文提出线上线下相结合的混合式教学模式，具体阐述了这种教学模式的操作方法，并附以具体事例说明，以及操作中需要注意的事项。理论指导实践，因师、因生、因时制宜。这种教学模式同样需要在教学实践进程中多次检验并逐步完善，以期达成激发学生学习高等数学兴趣、提高课堂效率的目标。