徐森荣,谭易兰,赵 嘉

(1.江苏大学 数学科学学院,江苏 镇江 212013;2.南通大学 理学院,江苏 南通 226019)

代数的算子包括Nijenhuis算子和罗巴算子等,在量子场论、可积系统、数论等领域应用广泛[1-2].3-李代数作为李代数的自然推广,广泛应用于几何学、力学、弦论及M2-膜理论中,因此受到广泛关注[3-6].3-李代数与李代数及Leibniz代数等有密切的联系,例如,由李代数及其拟迹函数可以诱导3-李代数[7],并且3-李代数可以自然地诱导出Leibniz代数.

近年来,代数上算子的上同调理论研究也得到广泛关注.文献[8]研究了n-李代数的(n-1)-阶形变和Nijenhuis算子的构造,证明了任意一个n-李代数上Nijenhuis算子的多项式仍然是Nijenhuis算子;文献[9-10]分别构造了李表示对和3-李表示对上相对罗巴算子的上同调,并研究了其形变理论.

拟迹函数可以诱导相对罗巴算子.假设(G,ρ)是一个李表示对,τ∈G*是拟迹函数,T:V→G是(G,ρ)上的相对罗巴算子,则T也是拟迹函数τ诱导的3-李表示对(Gτ,ρτ)上的相对罗巴算子[11].基于此,本文先给出李表示对的相对罗巴算子的上同调群和拟迹函数诱导的3-李表示对的相对罗巴算子的上同调群在低阶情形下的对应关系,再利用链映射构造出李表示对和诱导3-李表示对的相对罗巴算子的任意阶数大于等于2的上同调群之间的同态.本文所有的线性空间和代数都在特征为零的域K上.

1 预备知识

定义1[7]设(G,[·,·])是一个李代数,令τ∈G*,如果

τ(x)τ([y,z])+τ(y)τ([z,x])+τ(z)τ([x,y])=0, ∀x,y,z∈G,

(1)

则称τ是李代数G上的拟迹函数.

李代数G上迹函数τ:G→K定义为τ([G,G])=0.文献[7]证明了李代数G上一个线性函数是迹函数当且仅当Kerτ是G的理想;李代数G上一个线性函数是拟迹函数当且仅当Kerτ是G的子代数.因此,拟迹函数可视为迹函数的自然推广.

定义23-李代数由一个向量空间G和一个三元线性运算[·,·,·]: ∧3G→G组成,且满足如下基本恒等式:

[x,y,[z,w,t]]=[[x,y,z],w,t]+[z,[x,y,w],t]+[z,w,[x,y,t]], ∀x,y,z,w,t∈G.

(2)

注1[7]设τ是李代数G上的拟迹函数.对∀x,y,z∈G,定义三元线性括号

[x,y,z]τ∶=τ(x)[y,z]+τ(y)[z,x]+τ(z)[x,y],

τ([x,y,z]τ)=0, ∀x,y,z∈G.

(3)

由文献[7]可知,(G,[·,·,·]τ)为3-李代数,称为由拟迹函数所诱导的3-李代数,简记为Gτ.令(G,ρ)是G的李表示对.定义ρτ: ∧2G→Gl(V)为

ρτ(x,y)=τ(x)ρ(y)-τ(y)ρ(x),x,y∈G,

(4)

则(Gτ,ρτ)是由拟迹函数所诱导的3-李表示对.

定义4[9]设(G,ρ)是一个李表示对,若线性映射T:V→G满足

[Tu,Tv]=T(ρ(Tu)(v)-ρ(Tv)(u)), ∀u,v∈V,

则称T是李表示对(G,ρ)上的相对罗巴算子.

下面给出李表示对相对罗巴算子的上同调[9].设G是李代数,T是李表示对(G,ρ)上的相对罗巴算子.在V上引入二元括号[·,·]T为

[u,v]T=ρ(Tu)v-ρ(Tv)u, ∀u,v∈V.

定义ρT:V→Gl(G)为

ρT(u)(x)∶=[Tu,x]+Tρ(x)(u), ∀x∈G,u∈V,

(5)

dρT(x)v=Tρ(x)v-[x,Tv], ∀v∈V.

(6)

(7)

(8)

设G是李代数,T是李表示对(G,ρ)上的相对罗巴算子,则由式(7)给出的ρT是李代数(V,[·,·]T)上的表示.令τ是李代数G上的拟迹函数,则由注1知,(Gτ,ρτ)是拟迹函数诱导的3-李代数Gτ的3-李表示对.

引理1[11]若T是李代数G对应的李表示对(G,ρ)上的相对罗巴算子,则T也是3-李代数Gτ对应的3-李表示对(Gτ,ρτ)上的相对罗巴算子.

引理21) (V,[·,·,·]T)是3-李代数,这里[·,·,·]T定义为

[u,v,w]T=ρτ(Tu,Tv)w+ρτ(Tv,Tw)u+ρτ(Tw,Tu)v, ∀u,v,w∈V;

(9)

(10)

注2由引理1可知,T是3-李代数Gτ对应的3-李表示对(Gτ,ρτ)上的相对罗巴算子,对于引理2中2),直接验证可知

(11)

2 主要结果

设τ是李代数G上的拟迹函数,(G,ρ)是一个李表示对,T是李表示对(G,ρ)上的相对罗巴算子.令ρT:V→Gl(G)由式(5)给出.

先给出相对罗巴算子低阶上同调群的一些结果.

证明: 由式(8)直接计算可知,对任意的v∈V,有

对于1-阶闭链,有如下包含关系.

1)τ(x)ω(y)=τ(y)ω(x);2)τ(x)ω([y,z])+τ(y)ω([z,x])+τ(z)ω([x,y])=0.

利用式(4),(11)以及ω满足τ(x)ω(y)=τ(y)ω(x),直接计算可得

特别地,当线性函数ω:G→K取为拟迹函数τ时,有如下推论.

证明: 当线性函数ω:G→K为拟迹函数τ时,定理3中的条件1)自然成立,条件2)即是拟迹函数的定义,结论1)得证.

定理4存在一个链映射