王爱珍,杨必成

(广东第二师范学院 数学学院,广州 510303)

0 引 言

(1)

文献[2]通过引入参数λi∈(0,2](i=1,2),λ1+λ2=λ∈(0,4],应用Euler-Maclaurin求和公式及实分析技巧建立了式(1)的如下推广式:

(2)

这里常数因子B(λ1,λ2)是最佳的,

(3)

(4)

文献[16-20]对式(4)进行了一些推广和应用;文献[21]应用实分析技巧给出了式(1)推广式中最佳常数因子联系多参数的一个等价陈述;文献[22-28]进行了类似的研究;文献[29-30]给出了逆向半离散Hilbert型不等式的一些新结果.

1 引 理

为避免重复陈述,本文设:p>1,1/p+1/q=1,m∈在+=(0,∞)上非负且除有限点外连续,f(k-1)(x)在+上可微且f(k-1)(0+) =0(k=1,2,…,m);对于an≥0,定义部分和(n∈N1={1,2,…}),满足条件An=o(etnα) (t>0,n→∞).并设

(5)

(6)

特别地,在式(6)中取q=1,由B2=1/6,有

(7)

(8)

(ii) 若h(t)(>0)∈C3[k,∞),h(i)(∞)=0(i=0,1,2,3),则有如下Euler-Maclaurin求和公式:

引理2设s∈(0,6],s2∈(0,2/α]∩(0,s),ks(s2)∶=B(s2,s-s2),定义下列权函数:

(11)

则有如下不等式:

(12)

由式(7)～(10),可求得

于是可得

定义函数g(σ)(σ∈(0,2/α])如下:

g(σ)∶=720-(420α+6sα2)σ+(60α2+5sα3)σ2-sα4σ3.

对于α∈(0,1],s∈(0,6],可求得

对于s2∈(0,2/α],有

因此有h(x)>0.做变换t=x1/αu1/α,有

因此,式(12)成立.证毕.

引理3设s∈(0,6],s1∈(0,s),s2∈(0,2/α]∩(0,s),则有如下不等式:

证明: 做变换u=x/nα,可求得如下另一个权函数表示式:

(14)

由Hölder不等式[31],有

再由式(12),(14)有式(13)成立.证毕.

注1在式(13)中,设s=λ+1∈(0,6],λ∈(-1,5],s1=λ1∈(0,λ+1),s2=λ2+1∈(0,2/α]∩(0,λ+1),λ2∈(-1,2/α-1]∩(-1,λ).置换f(x)(an)为f(m)(x)(An),由条件式(5),可得如下含新参数的不等式:

引理4对于t>0,有

(16)

(17)

证明: 因为f(m)(x)≥0,所以f(m-1)(x)在+上递增.又因为f(m-1)(0+)=0,所以f(m-1)(x)≥0.由归纳法,由f(k)(x)≥0,有f(k-1)(x)在+上递增,又由f(k-1)(0+)=0,可得f(k-1)(x)≥0(x>0;k=1,2,…,m).对于m=0,式(16)取等号成立;当m≥1时,由分部积分法,可得

用k=1,2,…,m叠加易得式(16).

因为Ane-tnα=o(1)(n→∞),故由Abel部分求和公式,有

由不等式1-e-t0)及对于α∈(0,1],有

从而有

即式(17)成立.证毕.

2 主要结果及应用

定理1若λ∈(-1,5](λ>-m),λ1∈(0,λ+1),λ2∈(-1,2/α-1]∩(-1,λ),则有如下涉及高阶导函数和部分和的半离散Hilbert型不等式:

再由式(15)有式(18).证毕.

(20)

由式(20)及级数的递减性质,可得

计算可得

由式(14),可得

基于上述结果,有

(22)

式(21)取等号的充分必要条件是存在不全为0的常数A和B,使得Auλ-λ2-1=Buλ1-1a.e.于+[31].不妨设A≠0,则有于+,λ-λ2-λ1=0.因而有λ1+λ2=λ.证毕.

(23)

特别地,当r=p,s=q时,有

(24)

当r=q,s=p时,有

(25)

当p=q=2时,式(24)和式(25)均变为如下Hilbert型不等式:

(26)

上述不等式的常数因子都是最佳值.