方光杰,陶双平

(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)

1 引言与主要结果

设(X,d,μ)为齐型空间[1-2],其测度μ满足双倍条件: 对任意的x∈X,存在常数C1∈(1,∞),使得

μ(B(x,2r))≤C1μ(B(x,r)),

(1)

其中B(x,r)={y∈X:d(x,y)

μ(B(x,λr))≥C2μ(B(x,r)),

(2)

关于RD空间的研究目前已有很多结果[4-9],例如: 文献[4]引入了RD空间上的广义加权Morrey空间;文献[6]得到了RD空间上θ-型Calderón-Zygmund算子的BMO交换子在广义加权Morrey空间中的有界性.本文主要考虑分数次积分算子及其BMO交换子在RD空间上的广义Morrey空间中的加权有界性,同时给出分数次积分算子及其BMO交换子在该空间的端点估计.

对任意的球B⊂X,Muckenhoupt权类Ap(μ),A1(μ),A(p,q)(μ),A(1,q)(μ)分别由满足下列条件的非负局部可积函数构成[10]:

其中p′=p/(p-1)为p的对偶指标.

设10,使得下列反向Hölder不等式成立[11]:

(3)

且存在常数0<β<1,使得当d(x,y)>2d(x,z)时,有

(4)

(5)

(6)

定义2[6]设1≤p<∞,φ: (0,∞)→(0,∞)为连续增函数,给定非负可测函数ν,u∈X,广义加权Morrey空间Mp,φ(ν,u)定义为

(7)

同理,对1≤p0,满足下列条件:

(8)

(9)

往证当条件(7)成立时,条件(8)和条件(9)也成立.条件(7)⟹条件(8)显然成立,由于

则条件(7)⟹条件(9)也成立.

设ω∈A∞(μ),给定Young函数Φ和球B,则可测函数f在B上的加权平均Luxemburg范数定义[10]为

当Φ(t)=t时,‖f‖Φ(ω),B=‖f‖L(ω),B;当Φ(t)=t(1+log+t)时,‖f‖Φ(ω),B=‖f‖Llog L(ω),B.对ω∈A∞(μ)以及任意的球B⊂X,有如下广义加权Hölder不等式[15]成立:

(10)

设b∈BMO(μ),由加权John-Nirenberg不等式知,存在常数C>0,使得对任意的球B⊂X,有[6]

‖b-bB‖exp{L(ω)},B≤C‖b‖BMO(μ).

(11)

(12)

注意到当t>0时,有t≤Φ(t)=t(1+log+t),且对任意的球B⊂X和ν∈A∞(μ),有

进一步可得

(13)

本文主要结果如下:

定理1设0<α<1,1

定理2设0<α<1,p=1,1/q=1-α,ω∈A(1,q)(μ),若φ: (0,∞)→(0,∞)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则Iα从M1,φ(ω,ωq)到WMq,φq(ωq)有界.

定理3设0<α<1 ,1

本文C表示一个不依赖于主要参数的正常数,在不同之处可表示不同值.

2 主要结果的证明

引理2[6]设(X,d,μ)为RD空间,若1≤p<∞,ω∈Ap(μ),则存在常数C5,C6>1,使得对任意的球B⊂X,有

ω(2B)≥C5ω(B),

(14)

ω(2B)≤C6ω(B).

(15)

引理3设φ: (0,∞)→(0,∞)为连续递增函数且满足条件(9),则存在ε>0及充分小正数γ,使得

特别地,令p/q=1-γ,则对任意的0<η≤1,存在常数Cη>0,使得

证明: 利用文献[6]中引理2.7的证明方法可得结论,故略.

引理4设(X,d,μ)为RD空间,若1≤p0,使得对任意的球B⊂X,有

(16)

证明: 该引理的部分证明类似文献[6]中引理2.9的证明.由于式(16)等价于

(17)

且φ满足式(9),因此由引理3,只需证明

设bj=ωq(2jB),这里j∈,由式(8),(15),有

再由引理3,可得

引理5[6]若1≤p<∞,ω∈Ap(μ),b∈BMO(μ),则存在常数C>0,使得对任意的球B⊂X,j∈,有

|b2j+1B-bB|≤C(j+1)‖b‖BMO(μ),

(18)

(19)

引理6[10,16]设1

引理7[17]设(X,d,μ)为齐型空间,0<α<1,1

引理8[18]设(X,d,μ)为齐型空间,0<α<1,1

2.1 定理1的证明

设B=B(x0,rB)={x∈X:d(x,x0)

首先估计D1.注意到ω∈A(p,q)(μ),由引理6可知ωq∈Aq(μ).利用式(8),(15)和引理7,得

其次估计D2.注意到当x∈B,y∈(2B)c时,有d(x,y)～d(x0,y),V(x,y)～V(x0,y).由式(1),(3),(5),得

注意到ω∈A(p,q)(μ).利用A(p,q)(μ)条件、式(16)和Hölder不等式,有

结合D1和D2的估计并对所有的球B取上确界,即可得定理1的结论.

2.2 定理2的证明

首先估计E1.注意到ω∈A(1,q)(μ),由引理6可知ωq∈A1(μ).利用式(8),(15)和引理7,得

其次估计E2.注意到ω∈A(1,q)(μ),由引理6可知ωq∈A1(μ)当且仅当ω∈A1(μ)∩RHq.利用式(16),(20)、Chebyshev不等式,A1(μ)条件和反Hölder不等式,有

结合E1和E2的估计并对所有的球B取上确界,即可得定理2的结论.

2.3 定理3的证明

首先估计F1.注意到ω∈A(p,q)(μ),由引理6知,ωq∈Aq(μ).由引理8和式(8),(15),可得

其次估计F2.由交换子[b,Iα]的定义,对任意的x∈B,有

|[b,Iα](f2)(x)|≤|(b(x)-bB)||Iα(f2)(x)|+|Iα((bB-b)f2)(x)|.

(21)

由式(20)的估计,同理可得

(22)

由式(20),(21),(22),得

注意到ω∈A(p,q)(μ),由引理6可知ωq∈Aq(μ).利用式(16),(18),(19)、Hölder不等式和A(p,q)(μ)条件,有

对于F23.设h(y)=ω(y)-p′,因为ω∈A(p,q)(μ),则由引理6可知h∈Ap′(μ).利用A(p,q)(μ)条件和式(19),得

利用式(16),(23)和Hölder不等式,得

综合F1和F2的估计并对所有的球B取上确界,即可得定理3的结论.

2.4 定理4的证明

首先估计G1.注意到ω∈A(1,q)(μ),由引理6可知ωq∈A1(μ).利用式(8),(12),(13),(15)和引理9,可得

其次估计G2.由式(20),(21),(22)和Chebyshev不等式,得

注意到当t>0时,有t≤Φ(t).因为ω∈A(1,q)(μ),则由引理6可知ωq∈A1(μ)当且仅当ω∈A1(μ)∩RHq.利用式(18),(19)、反Hölder不等式和A1(μ)条件,可得

再利用式(12),(16)和反Hölder不等式,有

对于G23,因为ω∈A(1,q)(μ),故由引理6可知ω∈A1(μ).利用A1(μ)条件、广义加权Hölder不等式和式(11),有

综合G1和G2的估计并对所有的球B取上确界,即可得定理4的结论.