武宇宇,高云柱

(北华大学 数学与统计学院,吉林 吉林 132013)

0 引 言

考虑如下具有变指数的对数非线性项的Kirchhoff型黏弹性波动方程:

(1)

其中Ω是n(n≥1)上具有光滑边界∂Ω的有界域.令M(s)=α+βsγ,α,β≥0,γ≥1.不失一般性,假设α=β=1.

设指数函数p(·)和q(·)是Ω上的可测函数,且满足

2≤p-≤p(x)≤p+

(2)

函数g(t)满足如下条件:

(H2)g(τ)≥0,g′(τ)≤0且

近年来,具有变指数的偏微分方程受到广泛关注,关于该类方程解的存在性、渐近性和爆破性研究已有很多结果[1-6].目前,具有对数非线性项的偏微分方程的研究也备受关注[7-8],而关于具有变指数的对数非线性项的相关研究结果相对较少[9].

本文记‖u‖L2(Ω)=‖u‖,‖u‖Lp(Ω)=‖u‖p.本文的C,c表示常数,在不同之处可取不同值.

1 预备知识

设p:Ω→[1,∞)是一个可测函数,Ω是n上的有界域,则变指数Lebesgue空间Lp(x)(Ω)定义为

给空间Lp(x)(Ω)赋予Luxemburg范数

这里Lp(x)(Ω)是一个Banach空间.变指数Sobolev空间W1,p(x)(Ω)定义为

W1,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω):u存在且|u|∈Lp(x)(Ω)}.

易知,变指数Sobolev空间也是一个Banach空间,且有如下范数:

‖u‖1,p(x)=‖u‖p(x)+‖u‖p(x).

(3)

这里A>0,0<δ<1.

引理1[10]设Ω是n上的有界域,p(·)满足Log-Hölder连续条件,则对任意的有‖u‖p(·)≤C‖u‖p(·),其中C=C(p-,p+,|Ω|)>0.

引理3[7]对任意的θ>0,有

类似文献[2,6],易得如下问题(1)弱解的存在性定理:

2 主要结果

引理4假设条件(H1),(H2)和式(2),(3)成立,则

是一个非增函数,且

证明: 将式(1)乘ut,并在Ω上积分可得

估计式(5)等号左端最后一项,有

将式(6)代入(5)得

‖u‖2(γ+1)

证明: 由E(0)<0和式(4)可得

这里Ω1={x∈Ω: |u|<1},Ω2={x∈Ω: |u|≥1}.故

(10)

(11)

‖u‖2(γ+1)

证明: 1)和2)的证明过程可参见文献[6].下面证明3)～5).

由H(t)的定义和条件(H1),可得

将式(12)代入1)可得

因此,3)得证.4)是3)的特殊情形.

(13)

(14)

令H(t)=-E(t),由式(7)可知,H(t)>0.由H(t)的定义和式(9),可知

(15)

由式(11)和引理5,可得

结合式(15)和式(16),有

(17)

所以

(18)

结合式(14)和式(18)可得

其中

(a+b)p≤2p-1(ap+bp).

(19)

当Aq(·)(u)≥1时,有

当Aq(·)(u)<1时,有

因此结论得证.

证明: 结合引理6中5)和式(17),可得

(20)

将Ψ(t)定义为

(21)

其中ε充分小,且

(22)

对式(21)求导可得

将式(1)乘u并在Ω上积分,可得

所以

由Cauchy-Schwarz不等式和Young’s不等式,得

(24)

将式(24)代入式(23),有

将等式H(t)两边同乘(-εq-(1-ξ)),得

这里0<ξ<1.在式(25)的不等号右边同时加、减式(26),得

当ξ充分小时,可得

这里

若存在X,Y≥0,η>0,l′,l∈+,满足条件则Young’s不等式成立.因此,可得

(29)

这里η是一个与时间t有关的常数.将式(29)代入(28)得

选取η,使其满足η-p(x)/(p(x)-1)=kH-σ(t),其中k>0充分大.则

利用引理6中5)和式(20),通过简单计算可得

由引理6和式(22),有

或者

结合引理6中1)可得

(33)

将式(33)代入式(31),得

因此,结合引理6中5)和式(34)可得

另一方面,由Hölder不等式得

由Young’s不等式,有

(36)

这里s=2/(1-2σ)≤q-.利用引理6中4)可得

结合式(19)和式(21)可得

由式(35)和式(37)可得

Ψ′(t)≥ζΨ1/(1-σ)(t),

(38)