高采文,张志强,刘宝亮

(山西大同大学 数学与统计学院,山西 大同 037009)

Allee[1]对生物种群的研究表明,群体生存有利于生物种群的存活、繁殖、抵御外敌,但过于密集或过于稀疏都会对繁殖产生负面影响,阻碍种群的发展,这就是Allee效应.具有Allee效应的种群有自身的最佳密度,当密度低于一定阈值时,种群将会灭绝.Allee效应的强弱影响生物种群的生殖状态、进化方向以及生存状态.描述Allee效应的数学模型目前已有很多,其中以确定性模型和随机模型为主.确定性模型对种群数量增长的描述较笼统,忽略了其他内外因素随时间波动对系统行为的影响,很难精准预测种群的变化趋势.随机模型尽管在实践中应用广泛,但应用随机模型的前提是事件的概率分布函数充分接近实际频率,即满足大数定律.但由于各种原因,实践中有时无法获得样本数据,只能依靠领域专家估计事件发生的可能性并给出其信度.此外,由于Wiener过程的性质,随机微分方程在描述许多时变系统时存在不一致的现象[2].因此,为更好地描述生物种群动态过程中的各种噪声需考虑新方法.

Liu[3]提出了不确定性理论,用于解决随机模型中的悖论.为描述随时间变化的不确定现象,Liu[4]引入了不确定过程的概念,Liu过程即为一种不确定过程,它是平稳独立的增量过程,具有连续的Lipschitz样本路径.与Wiener过程驱动的随机微分方程不同,不确定微分方程由不确定过程驱动.目前,不确定微分方程已成为处理动态不确定系统的主要工具.不确定理论广泛应用于不确定规划、不确定可靠性分析和不确定金融等领域.

考虑到种群系统不可避免地受自然界中各种不确定噪声的影响,本文在具有Allee效应的确定性种群模型基础上进一步考虑不确定噪声的影响,提出用不确定微分方程描述具有Allee效应的不确定Logistic种群模型.该模型将噪声项视为一个不确定变量,其期望值为0、方差为1.本文提出的模型为研究具有Allee效应的种群动态行为提供了一种新方法.

1 预备知识

定义1[3]设Γ是一个非空集合,L是Γ上的σ代数.不确定测度M是从L到[0,1]的函数,满足下列条件:

1)(规范性公理) 对全集Γ,有M{Γ}=1;

2)(对偶性公理) 对任意事件Λ,有M{Λ}+M{Λc}=1;

4)(乘积测度公理) 令(Γk,Lk,Mk)(k=1,2,…)是不确定空间,乘积不确定测度M满足

其中Λk是Lk中的任意事件,k=1,2,….

定义2[5]如果不确定过程Ct满足下列条件,则Ct称为一个Liu过程:

1)C0=0,几乎所有的样本轨道Lipschitz连续;

2)Ct具有平稳独立增量;

3) 每个增量Cs+t-Cs是一个期望值为0、方差为t2的正态不确定变量.

Liu等[8]证明了ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)的期望值为

2 模型的建立

种群的数量通常以指数方式增长,连续的Malthus种群模型为

(1)

其中Nt表示t时刻种群的数量,r为种群的内禀增长率.

种内竞争是生物界普遍存在的现象,例如,雄蝗虫为争抢雌蝗虫的角逐及雌蝗虫为争抢产卵场所而进行的斗争,都会影响它们的生物潜能,并最终导致种群数量下降.考虑到密度限制和拥挤效应,在模型(1)上增加一个密度制约因子(1-Nt/K),即可得Logistic种群模型:

(2)

其中K为环境容纳量.当NtK时,种群数量递减.

为生存、繁衍并抵御外敌入侵,生物个体之间也需要相互合作.例如: 蚂蚁作为一个团队,可以把质量是自己数十倍的物体搬回巢穴;食草动物的聚集可减少外敌入侵.这种生物个体间的合作会增加种群的繁殖成功率或存活率,从而增加种群的规模或密度,这些均可视为Allee效应.对具有Allee效应的种群,在模型(2)上增加因子(1-K0/Nt),即可得具有Allee效应的Logistic种群模型:

(3)

其中K0K0时,种群的数量将随时间延长而增加.

不确定扰动在自然界普遍存在.模型(3)是确定性模型,忽略了噪声项,引入不确定扰动项则更符合实际.一种引入的方法是假设不确定噪声项主要扰动内禀增长率,即

(4)

其中:Ct为Liu过程;σ为定义在[0,+∞)上的实数,表示噪声的强度.因此可得具有Allee效应的不确定Logistic种群模型:

(5)

其中噪声项dCt/dt为正态不确定变量,期望为0、方差为1.模型(5)不仅考虑了Allee效应带来的动态影响,而且考虑了实际应用中不能忽略的不确定扰动,因此,模型更合理.下面讨论具有Allee效应的不确定Logistic种群模型的解及解的α轨道.

3 模型的解

定理1具有Allee效应的不确定Logistic种群模型有解

(6)

(7)

对式(7)两边从0到t求积分,得

即

从而

(8)

求解式(8)可得式(6).因此,具有Allee效应的不确定Logistic种群模型的解完全由参数r,σ,K,K0和初值N0确定.

定理2若具有Allee效应的不确定Logistic种群模型给定初值N0>0,则有α轨道

(9)

证明: 由定义3可知,具有Allee效应的不确定Logistic种群模型解的α轨道满足相应常微分方程

(10)

对式(10)两边求积分可得式(9),因此结论得证.

定理3对具有Allee效应的不确定Logistic种群模型,当K0

当K0

证明: 考虑函数

分析表明: 当K0

定理4对于具有Allee效应的不确定Logistic模型,当t→∞时,有

(11)

证明: 由式(8),有

整理得

从而

由于

因此可得结论.表明环境容纳量K是一个平衡状态,在式(11)的意义下稳定.

4 模型的参数估计

目前,关于不确定微分方程的参数估计问题已得到广泛关注.Yao等[10]提出了一种基于不确定微分方程差分形式的矩估计法.对于矩估计法无解的情形,研究者们又提出了广义矩估计法,将问题转化为求目标函数最小化的最优解.此外,Sheng等[11]用最小二乘估计法估计未知参数;Lio等[12]讨论了用不确定极大似然估计法估计不确定回归模型中的未知参数;Liu等[13]研究了基于不确定极大似然估计的不确定微分方程参数估计方法.本文利用广义矩估计法对具有Allee效应的不确定Logistic种群模型中的参数r和σ进行估计.

具有Allee效应的不确定Logistic种群模型的Euler差分形式为

整理得

(12)

由式(12),有

(13)

模型的解Nt在时刻t1

(14)

k阶总体矩为

由于标准正态不确定分布的期望为0、方差为1,所以目标函数最小值为

(15)

根据广义矩估计法知,式(15)的最优解是未知参数r和σ的广义矩估计值.所以,未知参数r和σ的广义矩估计值等价于求下列方程组:

(16)

求解方程组(16),可得r和σ的估计值分别为

(17)

5 实例分析

下面对具有Allee效应的不确定Logistic人口模型做参数估计,并研究模型解的性质.表1列出了美国1790年到1990年的人口统计数据.根据文献[14],模型中参数K=265×106,N0=3.9×106,同时假设K0=10.

表1 1790年到1990年美国人口统计数据

5.1 具有Allee效应的不确定Logistic人口模型的参数估计

根据1790年到1990年美国人口的统计数据,由式(14)可得标准正态分布的21个样本:

目标函数最小值为

(18)

根据式(17)可知式(18)的最优解,即未知参数r和σ的广义矩估计分别为

(19)

(20)

将样本观测值Nti+1(i=1,2,…,21)代入式(19)和式(20),解得

(21)

从而得到具有Allee效应的不确定性Logistic人口模型:

(22)

将式(21)代入式(18),计算可得目标函数的最小值为0.151 1×10-6,接近于0.

下面验证估计值的合理性.对任意给定的α,β∈(0,1)且α>β,在时刻t0,因为

所以

5.2 具有Allee效应的不确定Logistic人口模型解的极值和积分

在实际应用中,为维持社会稳定或生态平衡,当人口数量接近极值时,政府需要制定相应政策限制人口数量的自然增长或减少,从而防止极端现象.下面讨论具有Allee效应的不确定Logistic人口模型解的极值及解的积分不确定分布.

假设具有Allee效应的不确定性Logistic人口模型(22)中,N0=3.9×106,则模型的解为

解的α轨道为

图1 Nt的观测值和α轨道Fig.1 Observations and α-paths of Nt

图2 Nt的α轨道Fig.2 α-paths of Nt

如图4所示.

图3 Nt极值的逆不确定分布Fig.3 Inverse uncertainty distributions of extreme values of Nt

图4 Nt积分的逆不确定分布Fig.4 Inverse uncertainty distributions of integral of Nt

综上所述,考虑到不确定噪声的影响,本文提出了用不确定微分方程描述的具有Allee效应的不确定Logistic种群模型.该模型的特点是将Allee效应与不确定扰动相结合.首先,给出了具有Allee效应的不确定Logistic种群模型的解及解的α轨道,并利用不确定分析方法讨论了解的期望值和平衡态的稳定性;其次,讨论了模型的参数估计;最后,通过数值实例对模型的参数估计及解的极值与积分的逆不确定分布进行了说明.