王燕飞,侯 强,胡红萍

(中北大学 数学学院,太原 030051)

0 引 言

动物疫病的防控措施主要有免疫、消毒、检测扑杀.目前,关于免疫对动物疫病传播的影响[1-3]以及扑杀行为对动物疫病传播的影响研究[4-6]已有一些成果.

关于检测扑杀的研究,文献[7]基于布病的传播特征建立了动力学模型,其检测信息主要来源于新发现的染病动物;文献[8]以染病人数作为检测信息建立了人畜耦合的布病传播动力学模型,结果表明,检测标准会产生周期震荡;文献[9]通过限制扑杀资源研究了检测扑杀措施对布病传播的影响;文献[10]建立了布病传播的时滞模型,反映了通过血清学检测发现染病动物过程的特点,发现信息收集的迟滞会导致疾病传播的周期震荡.上述研究反映了布病传播动力学的一些特征,但均未考虑具有临床特征和检测发现的染病动物未得到及时处理导致传染这一风险因素.因此,基于上述分析,本文将具有临床特征的染病动物作为检测信息来源,建立动力学模型,分析检测行为对动物布病传播的影响.

本文将动物种群分为4类: 易感动物S(t),潜伏动物E(t),无临床特征的染病动物I(t),具有临床特征和检测发现的染病动物Id(t).这里检测出的染病动物是从无临床特征的染病动物I(t)中发现的,在潜伏期染病的动物通过检测很难发现,因此假设潜伏期动物不会通过检测发现.种群动物总数用N(t)表示,则有

N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+Id(t).

(1)

其中,A表示动物的常数输入率,β1表示易感动物与无临床特征染病动物之间接触的传染率,β2表示易感动物与具有临床特征和检测发现的染病动物之间接触的传染率,μ表示动物的自然死亡率,σ表示潜伏期动物的转移率,p表示有临床特征的动物比例,c表示被发现染病动物的捕杀率,Λ表示固定监测单位提供的信息量,k表示信息的增长率,d表示信息减少的比率.所有参数均为正.

1 平衡点和后向分支

1.1 无病平衡点

当动物布病不存在时,即I=Id=0,经简单计算可知,模型(1)有无病平衡点

由下一代矩阵法[11]可知,

则模型(1)的基本再生数为

容易验证,

为模型(1)的可行域.

1.2 地方病平衡点

经计算有

且E*满足

f(E*)=BE*2+CE*+D=0,

(2)

其中

1) 当R0>1时,方程(2)有唯一的正根;

图1 后向分支Fig.1 Backward bifurcation

2) 当R0<1,C<0时,方程(2)无正根;当R0<1,C>0时,若C2=4BD,则方程(2)有一个正根,若C2>4BD,则方程(2)有两个正根.

综上,可得:

定理11) 当R0>1时,模型(1)有唯一的地方病平衡点;

2) 当R0<1,C<0时,模型(1)没有地方病平衡点;

当R0<1,C>0时,若C2=4BD,则模型(1)有一个地方病平衡点,若C2>4BD,则模型(1)有两个地方病平衡点,如图1所示.

1.3 后向分支

定理2当

时,模型(1)在R0=1处发生后向分支.

证明: 用中心流形方法[12]分析模型(1)后向分支的存在性.

为简化和理解中心流形定理,令

S=x1,E=x2,I=x3,Id=x4,M=x5,

则模型(1)变为

(3)

模型(3)在无病平衡点处的Jacobi矩阵为

当R0=1时,其特征方程为

h(λ)=λ(λ+μ)(λ+d)(λ2+a1λ+a2),

其中

模型(3)的特征方程有零特征值,且其他特征值为负.设与零特征值相关的右特征向量为ω=(ω1,ω2,ω3,ω4,ω5)T,其中

设与零特征值相关的左特征向量为v=(v1,v2,v3,v4,v5),其中

令a,b表示相关分支系数,则

时,有a>0,因此模型在R0=1处发生后向分支,如图1所示.

2 平衡点的稳定性

2.1 无病平衡点的局部稳定性

定理3当R0<1时,无病平衡点P0是局部渐近稳定的.

证明: 模型(1)在无病平衡点的Jacobi矩阵为

矩阵J0的特征多项式为

(λ+μ)(λ+d)(λI3-B1)=0,

(4)

其中

当R0<1时,有R1<1,R2<1.

矩阵-B1的所有一阶主子式显然为正;矩阵-B1的二阶主子式为

矩阵-B1的三阶主子式为

所以矩阵-B1的所有主子式为正,即-B1的特征值实部均大于0,则矩阵B1的特征值实部均小于0,于是式(4)中的特征值实部均小于0.因此,当R0<1时,无病平衡点P0是局部渐近稳定的.

2.2 无病平衡点的全局稳定性

证明: 经计算有R3>R0.构造Lyapunov函数

3 模型的一致持续性

定理5当R0>1时,模型(1)是一致持续的,即存在一个正数,使得

2.开展绩效考核，可以使职工更加清楚自身具有的能力和优势所在，还能发现自身存在的缺点和不足之处。在培训后，并接受领导的指导，从而更好的提升自身能力和业绩，获得晋升机会和加薪机会，从而实现职工自己的个人价值和追求。

成立.

证明: 定义

X0={(S,E,I,Id,M)∈X:E>0,I>0,Id>0}, ∂X0=XX0.

首先,X是正不变集,∂X0是闭集.

设

M∂={φ∈X:Φ(t)φ∈∂X0,t≥0},Φ(t)φ=Φ(t,φ(t)),

1) 存在t0≥0,使得E(t)>0,I(t)=0,Id(t)=0,则

2) 存在t0≥0,使得E(t)=0,I(t)>0,Id(t)=0,则

3) 存在t0≥0,使得E(t)=0,I(t)=0,Id(t)>0,则

E′=β2SId>0.

从而存在δ>0,使得当t0≤t≤t0+δ时,E′>0,(S(t),E(t),I(t),Id(t),M(t))∉M∂,矛盾.

对任意足够小的ε>0,有

(5)

下面证明对任意的φ∈X,存在ρ=ρ(ε)>0,使得

(6)

(7)

从而对任意的t>t0+T,式(5)成立.由模型(1)可得

考虑以下辅助模型:

(8)

模型(8)的Jacobi矩阵J为

J=J1-εG,

其中

4 最优控制策略

为尽可能降低染病动物的数量,制定一个最优的控制策略很重要.因此,在模型(1)中引入与时间相关的控制项μ1(t),μ2(t),增加控制后的模型为

(9)

其中μ1(t)表示减小易感动物与无临床特征的染病动物接触的隔离策略,μ2(t)表示减小易感动物与有临床特征和检测发现的染病动物接触的隔离策略.控制函数集为

U={U(·)∈L′([0,T];2)|0<μi≤μmax<1,∀t∈[0,T]}.

目标是降低染病动物的数量,定义目标函数为

其中μ=(μ1(t),μ2(t)),P1为无临床特征染病动物的权重系数,P2为有临床特征和检测发现的染病动物的权重系数,C1,C2为控制策略的权重系数.

根据Pontryagin Maximum原理[16],定义Hamilton函数为

其中λi(i=1,2,…,5)是伴随变量.各伴随变量的微分方程为

从而有

并且满足横截条件λi(T)=0(i=1,2,…,5).

可知,最优控制解为

5 数值模拟

A=9,β1=0.01,β2=0.2,μ=0.2,σ=0.01,

p=0.2,φ=0.06,c=0.08,Λ=0.02,k=2,d=0.01,

此时R0=0.82<1,最优控制曲线如图2所示.取参数

A=12,β1=0.3,β2=0.5,μ=0.8,σ=0.4,

p=0.3,φ=0.12,c=0.2,Λ=8,k=0.6,d=0.1,

此时R0=2.47>1,最优控制曲线如图3所示.无论R0<1还是R0>1,采取最优控制方法后,染病动物的数量在短时间内可快速减少,因此最优策略的应用可有效控制动物布病的传播.

综上所述,为研究检测行为对动物布病传播的影响,本文首先将具有临床特征的染病动物作为检测信息,建立了动力学模型.其次,利用定性和稳定性理论,分析了模型平衡点的存在性和稳定性,并证明了模型后向分支的存在性.结果表明: 当模型发生后向分支时,即使R0<1,动物布病仍可能持续存在;当R0>1时,模型有唯一平衡点且模型一致持续.最后,通过数值模拟说明了控制策略可使染病动物的数量在短时间内快速减少,从而有效阻止动物布病的传播.因此,在对动物进行检测扑杀时,结合最优控制策略,更有利于动物布病风险管理措施的制定.