高峰官 王国强

［摘  要］ 数感与符号感既有区别，又有密切联系. 初中“数与代数”的学习正是学生由数感形成符号感，发展抽象思维的关键时期. 教师要善于引导学生用字母表示数，把握数与代数运算法则之间的内在统一性，渗透从特殊到一般的数学思想方法，优化数感、强化符号感，提升学生的抽象思维能力与运算推理能力，从而促进学生核心素养的提升.

［关键词］ 数感；符号感；抽象思维；运算能力；核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》引领着我国义务教育阶段数学课堂教学实践与改革的深入. 初中数学课程要培养的核心素养，主要包括三个方面：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. 在义务教育阶段，数学眼光主要表现为：抽象能力、几何直观、空间观念与创新意识. 在数与代数模块的学习中，主要就是培养学生观察、归纳、概括的能力和学生的运算能力. 抽象思维能力是数学思考与数学表达的基础与前提，抽象思维能力主要包括学生的数感、量感与符号意识.

正确理解数感与符号感的内涵

数感的培养始于小学，在初中阶段需要进一步优化与深化. 数感是学生学习和运用数学知识分析、解决问题的基础能力与素养. 数感主要是指对数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟，学生能够在真实情景中理解数的意义，能用数表示物体的个数与事物的顺序，能在简单的真实情境中进行合理的估算并做出合理的判断，能初步体会和表达事物所蕴含的简单数量规律. 数感是形成抽象思维能力的经验基础，也是学生建立符号意识的基础.

符号感，即符号意识，也是始于小学阶段，在初中阶段同样需要进一步发展. 符号感主要是能够感悟符号的数学功能，即知道符号表达的现实意义，能够初步运用符号表示数量、关系，并进行运算和表达一般规律；知道用符号表达的规律具有一般性. 初步体会符号的使用是数学表达与数学思考的重要形式，符号意识是形成抽象能力与推理能力的经验基础.

抽象能力主要是指数感、量感与符号感. 抽象能力是指对现实世界数量关系与空间形式的抽象能力，在数与代数的学习中，主要是对数量关系进行抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力. 要求学生能够从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量，探寻变量的规律及变量间的关系；能够从具体问题中概括出一般性结论，形成数学的方法与策略，并在此过程中感悟到数学抽象对数学产生与发展的作用，形成数学想象力.

可见，从数感到符号感，既是对数感的强化，又是学生抽象思维能力的进一步提升.

理性分析初中生数感与符号感培养的困惑

学生在初一数学起始阶段，主要是数与式的学习. 这一部分的学习是建立在小学形象思维的基础上的，是对小学整数、小数、分数四则混合运算学习的进一步深入. 在初中数与代数的教学中，教师需要进一步发展学生的数感，通过引入字母表示数，建立和优化学生的符号意识，从而进一步发展学生的抽象思维能力.

部分学生从小学升入初中，显示出了很多不习惯和不适应，主要体现在：（1）不能很好地掌握有理数混合运算，运算过程不清晰，正确率不高；（2）不能灵活运用运算律进行简便运算；（3）对运算过程和结果缺少元认知判断能力，不能做出直觉的评判；（4）不能熟练地从特殊到一般用字母表示数学规律；（5）学生感到学习节奏太快，每天都在学习新的内容，知识消化不及时，力不从心，分化现象比较明显. 这些现象所反映的核心问题是学生抽象思维能力不够，主要体现在：（1）学生的数感比较薄弱；（2）学生的数学符号感不强；（3）教学中教师没有渗透好从特殊到一般的数学思想方法，没有引导学生把数感与符号感自然融合，学生没有把握好其中的内在联系.

其实，在七年级，学生从有理数到代数式的学习，主要是优化学生的数感，帮助学生建立符号意识，促进学生抽象思维能力的发展，这是发展学生抽象思维能力和运算能力的必由阶段和关键时期. 教师在教学中要充分认识到这一内容的启领性、重要性和复杂性，重视数与代数之间的衔接，在数感的升华中发展学生的符号感，发展学生的抽象思维能力，为提升學生的运算能力与逻辑推理能力打下坚实的基础.

优化数感、强化符号感，发展学生的抽象思维能力

1. 关注生活中数与符号的运用

数感与数字有关，数感的形成自然离不开数字. 生活中我们离不开数字与图形，数学已成为人们表达与交流的工具. 生活中会用到许多符号，有时数字与符号结合在一起使用，所以我们既要读懂数字，又要读懂符号信息，并分析其中的含义，这是一种生活技能与常识，也是体现思考能力的一个重要方面.

例如，图1是一张南京到上海的车票，其中包含了哪些信息？教师可引导学生用数学眼光观察，从车票中发现车次、座号、票价、开车时间、条形码等信息，让学生感受数据所提供的信息以及给生活带来的便利. 这体现了数字应用的广泛性.

显然，读懂一个由数与符号相结合的图形，需要学生具有较强的观察能力与抽象能力. 教师要引导学生做生活中的有心人，如提问：你还能从某件产品的条形码中，获取相关信息吗？这样的交流活动，能引导学生用数学眼光观察现实世界，体验数字、字母、符号与生活的密切联系，而不是将数与符号孤立起来分析，这样便可在学习与生活中培养学生的数感与符号感，并提升他们的观察力、抽象力和理解力.

2. 重视数字与数学规律的探究

在七年级数与代数的学习中，经常会遇到探寻数字规律的问题，如月历中数字之间的内在关系问题. 为了弄明白数字之间的关系，我们常采用以下方法：先看几组具体数字，发现它们之间的关系，然后归纳猜想，用字母表示数，从而在一般情形下厘清数字之间的内在联系. 这就是从数感到符号感的拓展，是一种思维上质的飞跃，体现了数学抽象思维能力的提升.

例如，大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一个奇数是2023，则m的值是45.

这是一道数字规律探究题，训练的是学生的观察能力. 从数到用字母表示，从特殊到一般，再由一般到特殊的过程中，培养了学生的数感，强化了学生的符号感，发展了学生的抽象思维能力.

3. 重视数学语言之间的相互转换

学生抽象能力的提升体现在其善用数学的语言表达现实世界. 数学语言通常有三种形式：文字语言、符号语言和图形语言. 要学好数学，就要学会这三种语言之间的相互转换，这也是七年级数学学习的重要内容之一. 在数与代数的学习中，图形相对较少，但也有三种语言的互换. 如完全平方公式和平方差公式的推导与呈现，就是文字语言、图形语言与符号语言之间的相互转化，转化中涉及数、数量关系与数学符号. 数学符号有性质符号、关系符号、运算符号，还有其他数学符号等，转化过程能发展学生的数感，强化学生的符号意识，发展学生的抽象能力、推理能力和表达能力，能让学生的数学表达更简洁，数学思维更快捷.

在列代数式（用文字语言描述的数量关系）的过程中，学生的数感和符号感及抽象能力得到了发展. 如这样一道数学题：对于5a+6b，你能给出其实际意义吗？这是由符号语言转化为文字语言的开放性问题. 有学生说：一支钢笔a元，一本练习册b元，买5支钢笔和6本练习册的总价为（5a+6b）元；有学生说：小明和小亮分别从小桥的两头相向而行，小明每步走a米，小亮每步走b米，小明走了5步、小亮走了6步后，两人相遇，则小桥的长度为（5a+6b）米；还有学生说：1个边长为a cm的正五边形与1个边长为b cm的正六边形的周长之和为（5a+6b）厘米. 数学语言的转换，能激发学生的学习兴趣，能加深学生对数量关系和对数学符号的认识. 学生在给代数式“5a+6b”赋予实际意义时，能进一步领悟到“5a+6b”可以理解为一种数学模型，从而发展数学模型思想.

4.正确理解数学符号规定的合理性

在数学学科的发展过程中，很多数学理论的创建和形成都由数学家们对新运算符号的大胆创新和巧妙引入带来的. 如零指数幂与负整数指数幂的规定，促进了数的运算的内在统一和谐美. 对新运算符号的理解与运用，可以加深学生的数感与符号意识. 为了进一步促进学生深入理解和形成符号化的学习策略，在代数运算教学中，教师除了让学生熟知常规运算符号外，还可以引导学生大胆定义新的運算符号.

后一个例子涉及高中课程中的行列式定义，对初中生来说其代表一种新的运算符号. 对于这样的运算符号，七年级的学生能够接受，这能在不知不觉中为后续高中数学的学习做铺垫. 教学时教师要引导学生正确理解运算符号的内涵. 当学生真正理解了，教师便可进一步启发学生：“你可以规定一种新的运算符号，并编出相应的试题吗？”一石激起千层浪，学生的思维很快被激活，他们会规定出很多有趣的、富有创意的运算符号，并在此基础上编出新的运算式. 这样不仅可以激发学生的学习兴趣，强化学生的数感与符号意识，还能培养学生的抽象思维能力与创新思维能力.

可见，在“数与代数”模块的学习中，学生既需要进行有理数的混合运算，又需要进行代数式的加减运算. 通过用字母表示数，由特殊到一般，可将两者统一起来，并都归结为有理数的运算. 在数与代数式的深入学习与思考中，学生的数感得到了进一步优化，符号意识得到了进一步增强. 在运算训练中，学生的抽象思维能力、运算能力及推理能力得到了培养，提升了数学学习信心，发展了数学核心素养.