聂少武，刘少杭，耿龙龙

(河南科技大学机电工程学院，河南洛阳 471003)

0 前言

摆线齿锥齿轮采用连续分度双面法、干切加工，切齿效率高且绿色环保，同时又具有重合度大、承载能力高、噪声低等优点，因此在汽车驱动桥中得到广泛应用。作为驱动桥主减速器中的关键部件，摆线齿锥齿轮的齿面啮合性能直接影响着整桥的传动性能。为了提升驱动桥的传动性能，对摆线齿锥齿轮的齿面啮合质量进行评价和分析至关重要。

齿面接触分析技术(Tooth Contact Analysis，TCA)作为一种纯数学方法，可以评价理论齿面的啮合性能。国内外相关学者围绕摆线齿锥齿轮的TCA技术已开展了一系列研究[1-5]，取得了显著成果。TCA技术针对无载荷情况下齿面的接触情况进行分析，为切齿阶段齿面啮合质量提供了重要保证。然而，影响整个传动系统性能的最主要因素是实际工况下齿面的加载啮合性能，因此，在TCA基础上还需对齿轮进行加载接触分析(Loaded Tooth Contact Analysis，LTCA)，国内外学者围绕摆线齿锥齿轮的LTCA技术也开展了相关研究[6-10]。

当前摆线齿锥齿轮加工技术主要被奥利康公司(已被德国克林根贝格公司合并)和格里森公司所垄断。在摆线齿锥齿轮加工方面，2家公司在加工原理、加工方法、刀具设计以及齿轮加工数学模型等方面趋于一致，但是考虑到技术专利方面的因素，2家公司在实际刀盘规格结构、轮坯几何设计、机床坐标系的定义以及齿面接触性能控制方面还存在差异。因此为了便于区分，摆线齿锥齿轮仍可分为奥利康制摆线齿锥齿轮和格里森制摆线齿锥齿轮。

现有文献有关摆线齿锥齿轮TCA技术多数是采用奥利康制摆线齿锥齿轮开展研究，有关格里森制摆线齿锥齿轮加工模型的TCA研究还相对较少。另外，现有文献有关摆线齿锥齿轮LTCA技术的研究主要分析齿面的瞬时接触区和接触应力，未能直观呈现完整齿面的加载接触情况。除此以外，当前市场上的著名锥齿轮设计软件(KIMOS软件和GEMS软件)都已将Ease off技术融入到齿面接触分析中，不仅可以直观地反映出齿面失配情况，也为齿面修形提供了一种拓扑修形方法。

基于以上分析，本文作者以格里森制摆线齿锥齿轮为研究对象，建立齿面加工数学模型，构建齿面Ease off拓扑，在此基础上对其齿面TCA解析法和LTCA有限元分析方法进行研究。文中建立的齿面失配分析和轮齿接触仿真技术可为格里森制摆线齿锥齿轮齿面啮合性能评判提供系统性评价方法。

1 齿面加工数学模型

1.1 加工特点分析

格里森制摆线齿锥齿轮与奥利康制摆线齿锥齿轮虽同为摆线等高齿，但是在加工技术上也有各自的特点，与奥利康制主要差别如下：

(1)加工刀盘有TRIAC和PENTAC 2种规格，刀条毛坯结构除了四面体外，还采用独特的五面体结构，提高了刀条的定位精度和夹紧刚性。

(2)刀刃切削刃形状采用圆弧刀刃，圆弧刀刃的曲率半径不是由计算得出，而是需要人为设定，根据TCA分析结果改变曲率半径，达到优化齿面接触性能的目的。

(3)在加工参数计算及加工数学模型方面，机床平面是衡量刀具、产形轮与工件位置关系的基准。对于奥利康制摆线齿锥齿轮，机床平面是工件齿轮的分度平面；对于格里森制摆线齿锥齿轮，机床平面是刀齿的节点平面。2个机床平面基准相差一个齿轮变位移距，因此格里森制和奥利康制摆线齿锥齿轮加工参数计算并不一致。

(4)在接触区修正方面，格里森制摆线齿锥齿轮和奥利康制摆线齿锥齿轮都是采用刀倾法修正齿面接触区，但奥利康制摆线齿锥齿轮大小轮加工均可刀倾，而格里森制摆线齿锥齿轮只在加工小轮时刀倾，大轮无需刀倾。

1.2 刀盘数学模型

根据以上对格里森制摆线齿锥齿轮加工特点的分析，以格里森TRIAC左旋刀盘为例，建立了刀盘三维模型和刀齿结构数学模型，如图1所示。与圆弧渐缩齿锥齿轮不同，刀齿切削刃不在圆锥的母线上，刀刃在刀盘端面上的投影不经过刀盘中心，而是与刀盘中心相切一偏置圆。

图1 刀盘结构及数学模型

图1(b)中r0为刀盘名义半径，刀齿半径修正后，外刀刀齿节点变为点PA，内刀刀齿节点变为点PI，δ0为刀齿方向角。Se(Xe,Ye,Ze)为与刀盘固连的坐标系，随刀盘转动。坐标轴Xe过直线OePI。Se1(Xe1,Ye1,Ze1)与刀齿切削刃固连，坐标系原点为内刀齿节点PI。坐标轴Xe1与刀盘中心相切一偏置圆，坐标轴Xe1与Ze1确立一平面H，刀齿切削刃位于H平面内。图1(c)中T是过内刀齿节点PI垂直于刀盘轴线的平面，称为刀齿节点平面，图1中所有坐标系都在该平面中建立。平面H与平面T垂直。图1(d)中给出了H平面中内刀圆弧刀刃形状，GI为内刀圆弧刀刃上任一点，对应刀齿参数为u，规定向上取正值，向下取负值；α为内刀切削刃刀齿齿形角，规定内刀刀齿齿形角取正值，外刀刀齿齿形角取负值；RHI为内刀圆弧刀刃曲率半径，规定内刀圆弧曲率半径取负值，外刀圆弧曲率半径取正值。

由图1中几何关系可以直接在坐标系Se1中求出刀齿圆弧切削刃矢量方程：

re1=

(1)

如果刀齿切削刃不经过圆弧修形，而采用直线刀刃，则式(1)可简化为

(2)

经坐标变换，可得到坐标系Se中刀齿切削刃方程re=Mee1re1，这里Mee1为坐标转换矩阵。对于外刀刀齿，式(1)和式(2)中刀齿参数取外刀数据。对于右旋刀盘，图1(b)中刀齿方向角δ0取负值。

1.3 刀倾法加工数学模型

格里森制摆线齿锥齿轮小轮加工采用刀倾法加工原理，以左旋小轮为例建立了刀倾法加工基本数学模型，如图2所示。

图2 刀倾法加工基本数学模型

图2中，St(Xt,Yt,Zt)代表刀盘未刀倾时的初始位置，该坐标系位于机床平面(刀盘尚未刀倾时的刀齿节点平面)，Se0(Xe0,Ye0,Ze0)是辅助坐标系，代表刀盘刀倾后的初始位置，Se(Xe,Ye,Ze)是刀盘坐标系，随刀盘顺时针转动，当前转角为φt。这3个坐标系之间的关系是：刀盘首先绕坐标轴Xt倾斜i角得到坐标系Se0，刀盘再绕Ze0轴旋转得到坐标系Se。Sm(Xm,Ym,Zm)是与机床固连辅助坐标系，XmOmYm位于机床平面内；Sp(Xp,Yp,Zp)为产形轮坐标系，随产形轮顺时针转动，φp为坐标系Sp相对坐标系Sm的当前转角。坐标系Sn(Xn,Yn,Zn)为辅助坐标系，Xn与工件齿轮轴线重合；坐标系Sw(Xw,Yw,Zw)为齿轮坐标系，与工件齿轮固连，展成过程中，绕工件齿轮轴线顺时针转动，φw为工件齿轮当前转角。图中参数i为刀倾角，j为刀转角，q为角向刀位，OmOt=Sr为径向刀位，OmB=Em为垂直轮位，AB=Xb为床位修正量，OwA=Xg为水平轮位修正量，δM为轮坯安装角。

由展成运动关系可知，φw=Rbφg，其中Rb为切齿滚比，φg为摇台转角。由于形成产形轮齿面的过程中，刀盘做纯滚动也可看作是刀盘自转运动叠加公转运动，所以当刀盘顺时针自转φt时，刀盘还要绕产形轮轴线顺时针公转φp0，这相当于产形轮绕轴线顺时针转动φp0，这2个角度满足φp0=Raφt，Ra为分齿速比。当摇台再顺时针转动φg做展成运动时，产形轮相对于机床坐标系的当前转角为产形轮公转角度与展成角度之和，即φp=φp0+φg。

利用图2中各坐标系之间的空间变换可以得到工件齿轮的齿面方程：

rw(u,φt,φg)=MwnMnmMmpMptMte0Me0ere(u)

(3)

式中：Mwn、Mnm、Mmp、Mpt、Mte0、Me0e为坐标系Se到Sw之间的各个坐标变换矩阵。

式(3)齿面方程含有3个未知数，根据产形轮与工件齿轮展成过程中的啮合方程，可计算出摇台转角φg=φg(u,φt)，这样式(3)最终可简化为rw(u,φt)，详细简化过程见文献[11]，这里不再赘述。

工件齿轮的齿面单位法矢为

(4)

图2基本加工数学模型是针对左旋小轮刀倾法建立的，对于右旋大轮，无刀倾，刀倾角i=0，将大轮基本加工参数代入式(3)和式(4)即可得到右旋大轮齿面方程和单位法矢。

2 齿面失配构建

Ease off拓扑可以反映出2个相啮合齿面之间的失配情况，也为齿面失配修正提供了前提，这里介绍一下Ease off拓扑的构建过程[12-16]。

图3给出了一对齿轮副的啮合位置关系，图中Sw1(Xw1,Yw1,Zw1)、Sw2(Xw2,Yw2,Zw2)分别为小轮和大轮坐标系，啮合过程中随齿轮转动，且转角分别为φ1和φ2。坐标系Sh(Xh,Yh,Zh)为固定安装坐标系，坐标系Sd(Xd,Yd,Zd)和Sb(Xb,Yb,Zb)为辅助坐标系。ΔE为齿轮副轴线垂直方向偏差，ΔG和ΔP分别为大轮和小轮安装距偏差，轴夹角Σ=90°。

图3 齿轮啮合数学模型

根据图2基本加工数学模型，可以推导出大轮齿面方程rw2(u2,φt2)、单位法矢nw2(u2,φt2)，将大轮齿面方程和单位法矢转换到坐标系Sh中，可得：

(5)

式中：Mhb、Mb2为相对应坐标系之间的坐标转换矩阵；Lhb、Lb2分别为Mhb、Mb2删去最后一行和最后一列得到。

当小轮齿面与大轮齿面完全共轭时，在啮合过程中满足φ2/φ1=z1/z2，z1和z2分别为小轮齿数和大轮齿数。依据坐标系Sh下大小轮啮合方程可以求出φ2=φ2(u2,φt2)，这样小轮转角也可表示为φ1=φ1(u2,φt2)，因此式(5)可简化为rh2(u2,φt2)和nh2(u2,φt2)，将其转换到小轮坐标系Sw1中可得：

(6)

由式(6)求解出与大轮齿面完全共轭的小轮齿面，将它定义为小轮基准齿面，用r1表示。将式(3)推导出的小轮齿面定义为小轮的实际齿面，用r′1表示。根据2个齿面之间的矢量关系，小轮实际齿面与小轮基准齿面之间的偏差可以用矢量表示Δδ=(r′1-r1)·n1，由这些齿面偏差构建的偏差拓扑图即为Ease off拓扑图。

定义与大轮完全共轭的齿面为小轮基准齿面，用r1表示。将式(3)推导出的小轮齿面定义为小轮的实际齿面，用r′1表示。小轮实际齿面与小轮基准齿面在空间位置上首先经过旋转使齿面中点重合，然后根据2个齿面之间的矢量关系，可以计算出小轮实际齿面与小轮基准齿面之间的偏差Δδ=(r′1-r1)·n1，由这些齿面偏差构建的齿面偏差拓扑图就反映出了小轮实际齿面与大轮齿面之间的失配关系，称为齿面Ease off拓扑图。

3 轮齿接触分析方法

3.1 齿面TCA解析计算方法

由公式(5)可得到坐标系Sh下大轮齿面方程rh2(u2,φt2,φ2)和单位法矢nh2(u2,φt2,φ2)，同理，将式(3)和式(4)中小轮齿面方程和单位法矢转换到固定坐标系Sh中，可得到：

(7)

式中：Mhd、Mdw1为相对应坐标系之间的坐标转换矩阵；Lhd、Ldw1分别为Mhd、Mdw1删去最后一行和最后一列得到。

齿轮在啮合过程中，任一啮合点处具有相同的径矢和法矢，据此可得：

(8)

由式(8)中nh1(u1,φt1,φ1)=nh2(u2,φt2,φ2)可以得到φ1和φ2，可用未知参数u1、φt1、u2、φt2表示。因此式(8)可简化为

rh1(u1,φt1)=rh2(u2,φt2)

(9)

式(9)是含有4个未知数u1、φt1、u2、φt2，3个相互独立标量的方程，给定u2值和其余3个参数初值，求解可得一组齿面参数，变动u2值可得到一系列齿面参数，将它代入大轮齿面方程即可得到大轮齿面上一系列点，这些点的连线即为大轮齿面接触轨迹线。在此基础上根据共轭齿面之间的曲率关系可以求得大轮上齿面接触区，根据传动误差的定义可以得到传动误差曲线。

3.2 齿面LTCA有限元分析

前文通过数学解析方法计算出了齿面接触区和传动误差，TCA结果是针对无载荷情况而言的，加载情况下齿面的接触情况需要通过LTCA仿真得到，这里基于有限元方法研究了LTCA仿真过程。采用ABAQUS软件进行齿面加载接触分析的流程如图4所示。

图4 LTCA有限元仿真流程

由图4可以看出：采用有限元方法进行LTCA仿真主要分为3步：第1步为前处理，计算理论齿面点，导入UG软件建立齿轮副三维模型，采用六面体网格划分，设置材料密度、弹性模量、泊松比等材料参数；第2步为有限元求解，设定求解器静力类型，设置面与面接触连接关系，施加负载扭矩并进行边界约束；第3步为后处理，输出齿面接触应力和弯曲应力，采用Python语言编写脚本文件提取接触应力，比较每个单元不同时刻的最大接触应力，并将其写入文件。运行脚本文件，即可得到主从动轮接触面上每个单元在整个分析过程中不同时刻最大的接触应力，通过提取遍历不同时刻的最大接触应力从而得到齿面完整接触区；同理提取不同时刻大轮的实际转角可得到加载下传动误差曲线。

4 算例仿真

以一对摆线齿锥齿轮为例进行了齿面失配分析、齿面TCA仿真及LTCA加载仿真。表1所示为齿轮副几何参数，表2所示为右旋大轮切齿加工参数，表3所示为左旋小轮切齿加工参数，表1—3中参数由格里森CAGE软件提供。图5所示为大轮和小轮理论齿面，图6所示为齿面Ease off失配拓扑。

表1 齿轮副几何参数

表2 大轮切齿加工参数

表3 小轮切齿加工参数

图5 理论齿面模型

图6 齿面Ease off拓扑

由图6可以看出：小轮齿面与大轮齿面在齿长方向和齿高方向都产生了鼓形失配，因此齿面呈局部共轭接触。同时小轮齿面与大轮齿面失配关系产生了挠率扭曲，这反映出齿面接触区呈对角接触。由图6中的齿面扭曲趋势可以看出：工作面(小轮凹面和大轮凸面)和非工作面(小轮凸面和大轮凹面)齿面接触区呈内对角接触。

图7所示为齿面TCA仿真结果，图8所示为格里森CAGE软件TCA仿真结果。对比图6和图7可以看出：齿面Ease off失配拓扑反映出来的齿面接触区与TCA仿真结果趋势一致。对比图7和图8可以看出：文中TCA与CAGE软件仿真结果相比，两者的齿面接触区形状、大小、位置基本吻合，两者传动误差基本一致，可以认为文中TCA仿真结果与格里森CAGE软件仿真结果相同，这也验证了文中TCA解析算法的正确性。

图7 TCA仿真齿面接触区和传动误差

图8 CAGE软件齿面接触区和传动误差

图9给出了齿面加载LTCA有限元仿真结果，设定载荷为轻载，扭矩为50 N·m。

图9 齿面加载接触区和传动误差

图9(b)、(c)给出的齿面接触区属于轻载情况，对比图7和图9中齿面接触区可以看出：轻载下齿面加载接触区与TCA仿真齿面接触区比较接近，验证了有限元仿真结果的正确性。由图9还可以看出，采用有限元LTCA仿真方法可以直观地呈现出加载情况下的齿面完整接触区和加载传动误差曲线。

5 结论

针对格里森制摆线齿锥齿轮啮合性能评价问题，提出了集齿面失配分析、齿面TCA解析法和齿面LTCA有限元法于一体的系统性评价方法。在建立刀盘数学模型和刀倾法展成加工数学模型的基础上，研究了齿面失配Ease off构建方法，建立了齿面TCA解析法数学模型和齿面LTCA有限元方法仿真流程。算例仿真结果表明：TCA仿真结果与格里森CAGE软件结果一致，验证了TCA解析算法的正确性。同时也可看出采用LTCA有限元仿真方法不仅可以得到齿面瞬时接触区和接触应力，而且能够直观呈现完整的齿面加载接触区和加载传动误差曲线，这为实际工况下齿轮啮合性能评价提供了理论参考依据，也为后续的齿面啮合性能优化奠定了基础。