王 筠

（1.湖北第二师范学院 物理与机电工程学院，武汉 430205；2.太赫兹技术与新能源材料及器件专家工作站，武汉 430205；3.湖北第二师范学院 光电材料与元器件研究所，武汉 430205）

1 引言

一光束以大于等于临界角由光密介质入射到光疏介质分界面时，会发生全反射，牛顿曾预言其反射光束会在入射平面内相对几何光学反射中心发生偏移，1940年德国科学家Goos和Hänchen在实验中观测到反射光在入射面内的横向偏移[1]，人们就把这一偏移称为Goos-Hänchen 效应。研究表明Goos-Hänchen 效应起源于分界面处光束的反射系数和透射系数的色散。[1-10]直到现在关于Goos-Hänchen 效应的研究已经涉及多层结构、非线性以及与之相关的诸如等离子体、超材料和量子系统等。[2-19]主要研究方法有固定相位法、能流法等。近年来拓扑绝缘体引起了人们广泛关注。拓扑绝缘体是一种全新的物质状态，其内部具有体能隙（绝缘态），而表面（或边缘）存在无能隙金属态的绝缘体材料。[13-19]当受到垂直方向磁场作用时，表面态被打破，磁电耦合效应产生，由于拓扑绝缘体具有特殊能带结构、高载流子迁移率和带隙可调等许多新奇的物理特性，拓扑绝缘体材料在光电器件领域具有广阔的应用前景。[13-19]自从1987 年Yablonovitch 和John 提出光子晶体的概念以来，光子晶体已成为光电子材料的一个重要研究领域。有文献提出一种新型的函数光子晶体的概念[20-23]，这种光子晶体的介质层折射率是随空间位置变化的周期函数，光波在其中沿曲线路径传播。已有文献研究了一维折线型、阶梯型、正弦函数型及Sinc函数型光子晶体的光学传输特性。[20-24]本文将采用固定相位法研究线偏振光由拓扑绝缘体投射到函数型光子晶体分界面上发生全反射时反射波在入射面内发生的横向偏移，为新型光电器件研究提供理论参考。

2 理论模型

如图1所示，函数光子晶体(BA)n表面涂覆一层拓扑绝缘体薄膜TI，拓扑绝缘体薄膜TI的相对介电常数和相对磁导率分别为εTI、μTI，其折射率为n1=εTI μTI，SINC函数型光子晶体(BA)n的A、B介质层的折射率随空间位置变化的表示式分别为

图1 表面涂覆拓扑绝缘体的函数光子晶体模型Fig.1 Functional photonic crystal model of surface coated topological insulator

介质层B和A的厚度分别为dB=(a-b)/2，dA=(a+b) /2，二者均满足，λ0和ω0分别是真空中入射光波的中心波长和中心圆频率。

3 理论推导

单色线极化波（平行极化波P波或垂直线极化波S波）以入射角θi投射到拓扑绝缘体（TI）与SINC函数型光子晶体(BA)n的分界面上（z=0），如图1所示，透射光从光子晶体底部透射进入空气中。

假设图1 中的拓扑绝缘体材料TI 和介质层B、A 都是各向同性均匀弱磁性材料，即它们的相对磁导率μTI=μA=μB=1，且在分界面上没有电荷和电流分布，它们的电磁本构关系分别是：[13-19]

对于z＞0 区域的Sinc函数型光子晶体(BA)n，线极化波（p波或s波）在函数光子晶体中沿曲线传播，利用电磁场边界条件可得该结构同一介质层的两个分界面位置z和z+Δz处的电场强度分量和磁场强度分量间满足以下矩阵关系：[20，21]

称Mp,si是B、A介质层的特征矩阵，应用传输矩阵法可得n个周期该光子晶体的特征方程：

（7）式中的δip,s和ηip,s在垂直入射时分别为和，ni、di分别是第i个子层的折射率和厚度，ω是入射光波的圆频率，c是真空中的光速，ε0、μ0分别是真空介电常数和磁导率，j是虚数单位。（8）式中和是图1周期结构(BA)n左侧第一个界面上的切向电场强度和切向磁场强度，而和是图1右侧最后一个界面上的切向电场强度和切向磁场强度。

进一步可得图1中p波在拓扑绝缘体材料TI中垂直入射到该周期结构(BA)n分界面上的反射系数和透射系数的表示式：[20]-[21]

在满足长波极限条件下，有限的一维介质光子晶体(BA)n能够产生等同于均匀平板的反射与透射行为，该周期结构的等效介电常数εeff和等效磁导率μeff

分别为：[22]

于是图1中z＞0 区域的函数光子晶体周期结构(BA)n可以等效为相对介电常数和相对磁导率分别为εeff和μeff、折射率为的介质平板。当一单色线极化波（垂直线极化波s波或平行线极化波p波）从拓扑绝缘体材料（TI）中以角度斜入射到SINC函数型光子晶体(BA)n的分界面处（z=0）时发生全反射，反射波在入射面（xOz平面）内相对于几何光学中心O点发生横向偏移即Goos-Hänchen位移，此时分界面（z=0）处的反射系数变为虚数，即

式中：

4 数值计算与分析

下面的计算中（1）和（2）式中nB( 0 )=3.37 ，nA( 0 )=1.544 ，D1=0.1 ，D2=0.2 ，a=483.211nm，b=179.557nm，B介质层厚度是dB=151.827nm，A介质层厚度是dA=331.384nm，该周期结构单元长度为d=dA+ dB=483.211 nm；计算中取归一化圆频率为ωo=4.6026935×1014rad/s，对应的波长为，表明该周期结构(BAn)单元尺寸d远小于中心波长λ0。计算中图1拓扑绝缘体薄膜TI的εTI=2，在不特别说明下周期结构(BAn)BAn的周期数n=10。

由于入射波在z=0 处发生全反射必须同时满足及θi≥θC，因此，根据（7）-（11）式，首先考察光子晶体(BA)n的等效介电常数和等效磁导率实部（数值计算中虚部忽略不计）取值随入射波圆频率变化情况。如图2 所示，入射线极化波是s波，其中εTI=2，周期数n=10，依次考察入射角分别是时，SINC 函数光子晶体的等效介电常数εeff和等效磁导率μeff随频率变化曲线。由图2 中知，在1.05ω0＜ω＜1.06ω0范围内εeff μeff的均值小。

图2 不同入射角的等效介电常数和等效磁导率随频率变化曲线Fig.2 Equivalent permittivity and permeability versus frequency at different incident angles

于εTI(=2)，所以，可以在这个频率范围进一步考察临界角。如图3所示，不同入射角θi对应的临界角随圆频率的变化曲线，显然图3中黑色虚线的均值已经超过其对应的入射角θi=，不满足全反射条件之一θi≥θC，同理图3中的红色实线的均值也超过其对应的入射角θi=，同样不满足全反射条件，也就是说在图2的频率范围内，只有入射角θi=才满足全反射条件。因此，依据（15）式计算得到垂直线极化波（s波）在入射角θi=时的Goos-Hänchen 位移即随频率变化曲线，如图4中蓝色实线所示。根据（7）-（11）式，周期结构(BA)n的εeff和μeff也会随着周期数n和εTI变化，所以，在图5和图6中考察了εTI=2、θi=时周期数对应的εeff和μeff及临界角随频率变化曲线，由图5和图6知，在1.05ω0＜ω＜1.06ω0范围内是满足全反射条件，因此可以计算得到不同周期数的随频率变化曲线，如图7所示，可以看到，在1.05ω0＜ω＜1.06ω0范围内，随着周期数增大，随频率变化曲线均值增大明显。图8是θi=,n=10 时，εTI依次取2和5时对应εeff和μeff随频率变化曲线，与其对应的随频率变化曲线如图4所示，其中εTI=2 对应蓝色实线，εTI=5 对应红色虚线，从图4中可知，εTI的取值变大，可能导致随频率变化均值减小。

图3 不同入射角对应的临界角随频率的变化曲线Fig.3 Curve of critical angle with frequency at different incident angles

图4 不同拓扑绝缘体的Goos-Hänchen位移随频率变化曲线Fig.4 Goos-Hänchen shift versus frequency of different topological insulators

图5 不同周期的等效介电常数和等效磁导率随频率的变化曲线Fig.5 Curve of equivalent permittivity and permeability with frequency for different periods

图6 不同周期的临界角随频率的变化曲线Fig.6 Curve of critical angle with frequency in different periods

图7 不同周期的Goos-Hänchen位移随频率变化曲线Fig.7 Goos-Hänchen shift versus frequency in different periods

图8 不同拓扑绝缘体的等效介电常数和等效磁导率随频率变化曲线Fig.8 Equivalent permittivity and permeability of insulators with different topologies versus frequency

前面主要讨论了垂直极化波（s波）的Goos-Hänchen位移随入射角、周期数和拓扑绝缘体的介电常数等变化规律，针对平行极化波（p波）也可以做类似计算，计算结果表明：当εTI=2,n=10 时，只有θi=满足全反射条件（见图9），其Goos-Hänchen位移随频率变化曲线如图10中蓝色实线所示，图10中的红色虚线是垂直线极化波（s波）的随频率变化曲线。比较图10中的两条曲线可知，在1.07ω0＜ω＜1.08ω0范围内两个不同线极化波的Goos-Hänchen 位移方向相反，最大值也不同，其中平行极化波的反向位移最大值＞λ1。之所以s波与p 波的Goos-Hänchen 位移不同，可以从（12）式分析得到。从图9 中可知在1.07ω0＜ω＜1.08ω0范围内，s波和p波的入射角=＞θC，即≠θC，由（12）式，可知发生了全反射，且垂直极化波（s波）和平行极化波（p 波）的反射系数有不同的幅角≠，即产生了不一样的Goos-Hänchen 相移，根据固定相位法，，所以有≠。

图9 两种线极化波对应的临界角随频率变化曲线Fig.9 Curve of critical angle versus frequency of two linearly polarized waves

图10 两种线极化波的Goos-Hänchen位移随频率变化曲线Fig.10 Goos-Hänchen shift versus frequency of two linearly polarized waves

最后，根据（13）可知，只要令=0 就可以将涂敷在SINC光子晶体表面的拓扑绝缘体薄膜变成常规介质薄膜，计算结果发现它们的几乎是相等的。分析（13）和（14）式就可以理解该结果的必然性。由于=-Θ，前面计算中是取Θ=π，则=-α=-≈-0.0073，≈5.329×10-5＜＜，即≈5.329×10-5相对于是可以忽略不计的，所以，在本文的数值计算分析中，拓扑绝缘体薄膜与常规介质薄膜对Goos-Hänchen效应的影响基本相同。

5 结论

本文运用传输矩阵法和固定相位法研究了SINC 函数型光子晶体与拓扑绝缘体分界面处的Goos-Hänchen 效应。结果表明，不同线极化波在拓扑绝缘体薄膜和函数光子晶体分界面处的Goos-Hänchen 位移随线极化波的入射角、拓扑绝缘体薄膜的介电常数、函数光子晶体周期数等不同而呈现不一样的变化规律，因此，可以通过改变入射线极化波的入射角、函数光子晶体的周期数及在其表面涂覆不同的拓扑绝缘体薄膜来调节分界面上的Goos-Hänchen位移。