施小山

[摘  要] 概念是数学的细胞，是落实核心素养的关键. 注重概念教学，厘清概念本质，明确核心素养的六大要素对学生的发展具有重要意义. 文章结合几个实际案例，从以下几方面展开阐述：发现并提出问题——引入概念;关注数学抽象——建立概念;注重逻辑推理——理解概念;发展理性思维——应用概念;倡导单元教学——掌握概念.

[关键词] 概念;核心素养;逻辑推理

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称新课标）的颁布与实施，对培养学生的数学核心素养提出了明确要求，并将数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析与数学运算六大要素归纳为数学教学的核心目标. 概念是数学的细胞，是发展学生数学核心素养的重要载体，其教学成功与否直接影响着各要素目标的达成. 为此，笔者特别针对高中数学概念教学进行了大量研究，并取得了一定效果.

发现并提出问题——引入概念

概念反映的是同类事物关键、共同的属性，这些属性一般从大量同类事物的不同例证中逐一发现，而后汇总到一起，抽象成概念. 概念作为单元教学的“前菜”，是课堂教学不可或缺的一部分，尤其是概念导入成败，对教学成效有着直接影响. 因此，教师在概念导入环节，应基于学生实际认知需求与存在的困惑，站在学生的角度，设计科学、合理的问题，以启发学生从数学的角度来观察、分析问题，及时发现并提出问题，这不仅能帮助学生发现一类事物的共同属性，为概念抽象奠定理论基础，还能帮助学生形成良好的创新意识，为后续学习更多、更复杂的概念奠定方法基础.

案例1 “函数概念”的教学导入.

问题 在一定量的水里加盐，盐水浓度未饱和前，盐水浓度和添加的盐的质量之间是怎样的关系？若为函数关系，请指出谁是自变量，谁是因变量.

师：审题时，大家要注意题目中提到的“盐水浓度未饱和前”这个条件，请根据这个条件提出一些新的问题.

生1：（问题1）当盐水浓度饱和后，盐水浓度和添加的盐的质量之间具备函数关系吗？

生2：（问题2）盐水浓度在饱和前、后的过程中，盐水浓度和添加的盐的质量之间具备函数关系吗？

师：问题提得很好，该怎么解答呢？

生3：我认为这两个问题都不具备函数关系. 问题1提到的盐水浓度已经饱和，那么盐水浓度就属于常量，它不会因为盐的添加而发生变化;问题2提到的是盐水浓度饱和前、后的过程，这里存在两个变化过程，应该不是函数关系.

师：这位同学分析得有道理. 但本节课将要颠覆大家的看法，我们今天要研究的正是这两个问题——盐水浓度和添加的盐的质量之间存在的函数关系.

（学生一个个惊讶地望著教师，表现出明显的探索欲）

设计意图 学生对函数概念并不陌生，如果按部就班地直接切入课堂主题，会让一些学生难以提起学习兴趣. 而盐水情境的导入，成功引发了学生的认知冲突，激发了学生的探索欲.

概念教学伊始，教师从学生的心理特征出发，通过激趣、悬念等方式揭示待学概念的必要性与特殊性，能为课堂教学奠定较好的情感基础，让学生带着疑虑、渴望进入课堂. 学生对函数“变量说”定义的理解为：在一个变化过程中，已知变量x与y，若x确定为某个值，则能相应地确定y值，称y为x的函数.

按照初中阶段的理解，在函数关系中，数值发生变化的那个量为变量，而数值恒定不变的量为常量. 但“一个变化过程”究竟是什么呢？初中阶段并没有给予科学、严谨的说明，从中能看出初中阶段所接触到的函数概念还具有一定的探索空间. 在本节课中，教师以一个生活情境为引例，让学生从这个生活情境中自主发现并提出问题，以成功激起学生的认知冲突，引发学生的探究兴趣.

关注数学抽象——建立概念

所谓的数学抽象是对数学对象数量关系和空间形式的抽象. 概念形成过程是数学抽象过程，在此过程中，学生通过对一些典型事例的比较、分析、归纳，从而抽象出数学事物的基本结构或一般规律，也就是数学事物共同的本质特征，且能用数学符号、语言或图形进行表征.

数学概念本身具有客观性与抽象性，但学生一般难以领悟其中的内涵. 因此，关注数学抽象对概念教学具有重要影响，究竟该如何让学生在数学抽象的帮助下建立数学概念呢？实践证明，问题串的应用能为学生数学抽象搭建“脚手架”，帮助学生形成概念，促进学生思维成长.

案例2 “函数单调性概念”的教学.

问题1 分别观察函数f（x）=x+1的图象（见图1）与函数g（x）=x2的图象（见图2），说说由左到右它们的变化规律.

问题2 如何从函数值与自变量变化的视角来刻画图象变化规律？

问题3 该用什么样的数学符号来表达：函数f（x）位于R上，函数g（x）位于区间[0，+∞）上，自变量x增大，函数值也增大？

问题4 尝试用数学语言总结函数单调递增或单调递减的概念.

设计意图 问题串的设计，意在让学生通过对问题的逐个突破，体验概念从图形语言（上升、下降）到自然语言（增大、减小），再到符号语言（单调性）的转变过程.

学生的思维经历直观形象到抽象逻辑的转化，充分感知数学直观描述到符号表达的抽象流程，能促进学生形成良好的数学抽象素养.

注重逻辑推理——理解概念

逻辑推理作为核心素养六大要素之一，是促进学生思维成长的主要途径. 概念教学离不开逻辑推理的协助，一般的概念理解涵盖探究概念变式与重建概念系统两部分. 其中，概念变式有式子、图形与符号变式，以及反面实例与等价说法等，一类事物的共同本质属性是概念的本质特征，变式训练则有利于学生从不同的角度分析概念本质;重建概念系统是指新旧认知互相作用，最终建构新的概念结构的过程.

为了在概念教学中发展学生的逻辑推理能力，教师可有针对性地进行概念变式训练与重建概念系统练习，让学生通过独立思考与合作交流等方式，不断提升自身的认知能力，建构完整的认知体系，为后续灵活应用概念夯实基础. 实践证明，“实验法”是发展学生逻辑推理能力的重要手段，尤其在概念教学中，融入动手操作过程，能让学生在亲身体验中自主抽象出概念，深化对概念的理解.

案例3 “线面垂直概念”的教学.

高中生本就拥有一定的生活经验，对线面垂直有着初步感性认识，但要从概念本质上来说什么是线面垂直，却有一定的困难. 因此，教师可通过递进活动的设计，以增加学生的直观感受，并让学生在逻辑推理中获得概念的本质.

首先，教师带领学生一起回顾直线和平面具有怎样的位置关系，引发学生感知“线面垂直”是一种特殊的线面相交关系，此过程也能反映出在线面垂直的状态下，线和面非斜角的理论. 至于如何刻画线面“不斜”的问题，学生众说纷纭，如90°角、垂直等.

师：线面垂直究竟是谁和谁垂直？你们所说的90°角，角的顶点是什么？边又是什么？

随着问题的提出，学生进入了思考状态，并在教师的引导下，呈现出了以下探究活动.

探究活动1：将书本竖立在课桌桌面上，观察书脊所在的直线和书页面与桌面的交线的关系，感知“线与平面上的线垂直关系的‘存在性”.

探究活动2：观察不同时间，太阳照射下旗杆和地面上影子的关系，感知“线与平面上的线垂直关系的‘无限性”.

探究活动3：将直角三角尺斜立在课桌桌面上，一条直角边紧贴桌面，另一条直角边和紧贴于桌面那条直角边的平行线都垂直，但此条直角边所在的直线与桌面并非垂直的关系. 由此，让学生感知“线与平面上的无数条线垂直，但线和面不一定垂直”.

设计意图 三个操作活动，从不同角度诠释了“线面垂直”的情况，为严谨地推导出线面垂直的概念奠定了基础.

乔治·波利亚认为：数学是一门系统的演绎学科，实验是数学创造与归纳的基础. 他还指出：数学思维并非“纯形式”的，不仅有定理、公式等的严格证明，还有推广、归纳与类推等. 上述探究活动，让学生亲历了知识的“再创造”过程，有效发展了学生的数学核心素养.

发展理性思维——应用概念

理性思维是数学核心素养的灵魂，聚焦数学理性思维与科学精神的教学理念，对学生世界观的形成以及终身可持续发展具有深远影响. 概念作为理性思维的基础，应着眼于“回到概念中去，形成以概念为出发点，进行问题的思考与解决”，这对培养学生的数学学科精神，发展学生的理性思维具有重要影响. 另外，概念的实际应用，是发展学生理性思维的重要过程.

案例4 “导数及其应用”的教学.

问题：与曲线y=x3相切，且过点（1，0）的直线方程是什么？

生4：经分析可知，切点为，

或（0，0），因此切线方程为27x-4y-27=0或y=0（舍）.

师：为什么要舍去y=0？

生4：直线y=0与x轴重合，可以看出直线y=0与曲线y=x3的唯一公共点就是它们的交点（原点），但它们的交点不是切点，因此要舍去.

师：获取数学结论，不能依靠直觉经验，而要通过科学严谨验证.

此时，教师打开几何画板，先作出函数y=x3的图象，然后在曲线y=x3上任意取动点P，作出P与原点O的割线PO. 当P沿着曲线接近原点时，割线PO就趋近于x轴. 当P与原点O重合时，割线PO与x轴重合.

生5：从切线定义出发，x轴确实是y=x3于原点处的切线.

师：不错，那么曲线和其切线有几个公共点？

生6：两者为相切的关系，必然只有一个公共点，若出现两个公共点，就不是相切的关系了.

师：现在请大家继续看几何画板的演示，如图3所示，曲线y=x3与切线27x-4y-27=0之间除了切点外，是不是还存在一个交点A？

（学生惊诧不已）

设计意图 在学生独立思考的基础上，借助多媒体纠正学生的思维定式，同时也让学生充分感知数学是一门严谨的学科，每一个理论都需要有周密的证明过程，不能凭借直觉与经验去解题.

通过几何画板来验证y=0也是曲线y=x3的切线，成功地颠覆了学生原有认知，此教学过程让学生充分认识到用概念来判断问题的重要性，为学生形成善于思考、勇于质疑、严谨求实的科学精神奠定了基础.

倡导单元教学——掌握概念

单元教学是新课标倡导的教学方式之一，该教学法主张以核心概念作为主題教学的中心，并以此为辐射点展开系列教学.

案例5 以“函数”为主题的单元教学.

函数是中学数学教学中极其重要的核心理念，函数思想贯穿整个高中数学课程. 以“函数”为主题的单元教学，可按照“背景—定义—图象—性质—应用—基本初等函数”的顺序展开.

以上述过程作为研究函数的一种套路进行推广，可以应用到一个新的数学对象的研究中. 遵循这个规律进行研究，学生能发现与提出新的问题，并在分析和解决问题的过程中形成良好的数学素养.

崔允淳提出：指向学科核心素养培养的大单元设计是落实“立德树人”理念，深化课程改革的必然要求，亦是发展数学核心素养的主要方式. 单元教学一改教师的示范性，以学生的模仿为主，突出学生在课堂中的主体性.

总之，概念教学是数学教学的核心，是落实与发展核心素养的关键. 教师应从思想与行动上注重概念教学，不断更新自己的教育教学理念，与时俱进，应用先进的教学手段发展学生的“四基与四能”，从真正意义上提升学生的数学核心素养.